Страница 81 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. По какой формуле вычисляется площадь параллелограмма?

2. Напишите формулы для вычисления площади треугольника.

3. По какой формуле вычисляется площадь трапеции?

4. По какой общей формуле можно вычислить площади трапеции, треугольника и параллелограмма?

5. Напишите формулу Герона и докажите ее.

1. По какой формуле вычисляется площадь параллелограмма?

Площадь параллелограмма можно вычислить по одной из следующих основных формул, в зависимости от известных данных:

1. Через основание и высоту. Если $a$ – сторона параллелограмма, а $h_a$ – высота, проведенная к этой стороне, то площадь $S$ равна их произведению.

$S = a \cdot h_a$

2. Через две смежные стороны и угол между ними. Если $a$ и $b$ – длины смежных сторон, а $\alpha$ – угол между ними, то площадь вычисляется как:

$S = a \cdot b \cdot \sin\alpha$

Ответ: Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = a \cdot h_a$ (произведение стороны на высоту) или $S = a \cdot b \cdot \sin\alpha$ (произведение двух сторон на синус угла между ними).

2. Напишите формулы для вычисления площади треугольника.

Существует множество формул для вычисления площади треугольника. Наиболее распространенные из них:

1. Через основание и высоту. Если $a$ – сторона треугольника, а $h_a$ – высота, проведенная к этой стороне, то площадь $S$ равна:

$S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$

2. Через две стороны и угол между ними. Если $a$ и $b$ – две стороны, а $\gamma$ – угол между ними, то площадь равна:

$S = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin\gamma$

3. Формула Герона. Если известны длины всех трех сторон $a, b, c$, площадь можно найти через полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

4. Через радиус вписанной окружности $r$ и полупериметр $p$:

$S = p \cdot r$

5. Через стороны $a, b, c$ и радиус описанной окружности $R$:

$S = \frac{abc}{4R}$

Ответ: Формулы для вычисления площади треугольника: $S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$; $S = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin\gamma$; $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

3. По какой формуле вычисляется площадь трапеции?

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. Если $a$ и $b$ – длины параллельных сторон (оснований) трапеции, а $h$ – ее высота (перпендикулярное расстояние между основаниями), то площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Ответ: Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ – основания, $h$ – высота.

4. По какой общей формуле можно вычислить площади трапеции, треугольника и параллелограмма?

Общей формулой, из которой можно вывести формулы площадей для трапеции, параллелограмма и треугольника, является формула площади трапеции:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

где $a$ и $b$ – длины параллельных сторон фигуры, а $h$ – высота, проведенная между ними. Рассмотрим, как эта формула работает для разных фигур:

• Для трапеции: Это ее исходная формула, где $a$ и $b$ – основания.

• Для параллелограмма: Параллелограмм – это частный случай трапеции, у которой основания равны ($a=b$). Подставив это условие в общую формулу, получаем:

$S = \frac{a+a}{2} \cdot h = \frac{2a}{2} \cdot h = a \cdot h$

Это стандартная формула площади параллелограмма.

• Для треугольника: Треугольник можно рассматривать как вырожденную трапецию, у которой одно из оснований стянуто в точку, то есть его длина равна нулю (например, $b=0$). Подставив это в формулу, получаем:

$S = \frac{a+0}{2} \cdot h = \frac{1}{2} a \cdot h$

Это стандартная формула площади треугольника.

Ответ: Общей формулой является формула площади трапеции $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.

5. Напишите формулу Герона и докажите ее.

Формула Герона:

Для треугольника со сторонами $a, b, c$ и полупериметром $p = \frac{a+b+c}{2}$ площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Доказательство:

1. Возьмем за основу формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними. Пусть $\gamma$ – угол между сторонами $a$ и $b$.

$S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

2. По теореме косинусов для этого же треугольника:

$c^2 = a^2+b^2-2ab\cos\gamma$

Из этой формулы выразим $\cos\gamma$:

$\cos\gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

3. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\gamma + \cos^2\gamma = 1$ следует, что $\sin\gamma = \sqrt{1-\cos^2\gamma}$ (синус угла в треугольнике всегда положителен).

4. Подставим выражение для $\cos\gamma$ в формулу для синуса:

$\sin\gamma = \sqrt{1 - \left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)^2}$

5. Используем формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ для выражения под корнем:

$\sin\gamma = \sqrt{\left(1 - \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)\left(1 + \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)}$

Приведем выражения в скобках к общему знаменателю:

$\sin\gamma = \sqrt{\frac{2ab - (a^2+b^2-c^2)}{2ab} \cdot \frac{2ab + a^2+b^2-c^2}{2ab}}$

$\sin\gamma = \frac{1}{2ab}\sqrt{(2ab - a^2 - b^2 + c^2)(2ab + a^2 + b^2 - c^2)}$

Сгруппируем слагаемые в скобках, чтобы выделить полные квадраты:

$\sin\gamma = \frac{1}{2ab}\sqrt{(c^2 - (a^2-2ab+b^2))((a^2+2ab+b^2) - c^2)}$

$\sin\gamma = \frac{1}{2ab}\sqrt{(c^2 - (a-b)^2)((a+b)^2 - c^2)}$

6. Снова применим формулу разности квадратов:

$\sin\gamma = \frac{1}{2ab}\sqrt{(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}$

7. Введем полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$. Из него можно выразить множители под корнем:

$a+b+c = 2p$

$a+b-c = 2(p-c)$

$a+c-b = 2(p-b)$

$b+c-a = 2(p-a)$

8. Подставим эти выражения в формулу для $\sin\gamma$:

$\sin\gamma = \frac{1}{2ab}\sqrt{2(p-a) \cdot 2(p-b) \cdot 2(p-c) \cdot 2p} = \frac{1}{2ab}\sqrt{16p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$\sin\gamma = \frac{4}{2ab}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \frac{2}{ab}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

9. Наконец, подставим это выражение для $\sin\gamma$ в исходную формулу площади $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$:

$S = \frac{1}{2}ab \left(\frac{2}{ab}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\right)$

После сокращения получаем искомую формулу Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Ответ: Формула Герона имеет вид $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $a,b,c$ – стороны треугольника, а $p$ – его полупериметр ($p = \frac{a+b+c}{2}$).

3.20. Пусть $S$ – площадь параллелограмма, $a$ – основание, $h$ – высота, проведенная к основанию. Заполните следующую таблицу:

Для заполнения таблицы воспользуемся формулой площади параллелограмма: $S = a \cdot h$, где $S$ — площадь, $a$ — основание, $h$ — высота, проведенная к этому основанию. Из этой формулы можно выразить основание $a = \frac{S}{h}$ и высоту $h = \frac{S}{a}$.

Произведем расчеты для каждого столбца, где есть пропуски.

Расчет для первого столбца

Дано: основание $a = 7$ и высота $h = 8$. Необходимо найти площадь $S$.

Решение: $S = a \cdot h = 7 \cdot 8 = 56$.

Ответ: 56.

Расчет для второго столбца

Дано: площадь $S = 12$ и высота $h = 2$. Необходимо найти основание $a$.

Решение: $a = \frac{S}{h} = \frac{12}{2} = 6$.

Ответ: 6.

Расчет для третьего столбца

Дано: основание $a = 2\sqrt{2}$ и площадь $S = 8$. Необходимо найти высоту $h$.

Решение: $h = \frac{S}{a} = \frac{8}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}}$. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $h = \frac{4 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{2}$.

Расчет для четвертого столбца

Дано: основание $a = 6$ и высота $h = \frac{1}{2}$. Необходимо найти площадь $S$.

Решение: $S = a \cdot h = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$.

Ответ: 3.

Расчет для пятого столбца

Дано: площадь $S = 4$ и высота $h = \frac{2}{7}$. Необходимо найти основание $a$.

Решение: $a = \frac{S}{h} = \frac{4}{\frac{2}{7}} = 4 \cdot \frac{7}{2} = \frac{28}{2} = 14$.

Ответ: 14.

Расчет для шестого столбца

Дано: основание $a = \sqrt{3}$ и площадь $S = 2\sqrt{6}$. Необходимо найти высоту $h$.

Решение: $h = \frac{S}{a} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{\frac{6}{3}} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{2}$.

Расчет для седьмого столбца

Дано: высота $h = 7$ и площадь $S = 4\sqrt{7}$. Необходимо найти основание $a$.

Решение: $a = \frac{S}{h} = \frac{4\sqrt{7}}{7}$.

Ответ: $\frac{4\sqrt{7}}{7}$.

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

3.21. Пусть $S$ – площадь треугольника, $a$ – основание, $h$ – высота, проведенная к основанию. Заполните следующую таблицу:

Для заполнения таблицы воспользуемся формулой площади треугольника: $S = \frac{1}{2}ah$, где $S$ — площадь, $a$ — основание, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию. В каждом столбце таблицы даны два из трех значений, и требуется найти недостающее.

Расчет для первого столбца

Дано: основание $a = 3$ и высота $h = 2$.
Находим площадь $S$:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$.
Ответ: 3.

Расчет для второго столбца

Дано: высота $h = 2$ и площадь $S = 4$.
Из формулы площади выражаем основание $a$: $a = \frac{2S}{h}$.
Находим $a$:
$a = \frac{2 \cdot 4}{2} = 4$.
Ответ: 4.

Расчет для третьего столбца

Дано: основание $a = 3$ и площадь $S = 6$.
Из формулы площади выражаем высоту $h$: $h = \frac{2S}{a}$.
Находим $h$:
$h = \frac{2 \cdot 6}{3} = \frac{12}{3} = 4$.
Ответ: 4.

Расчет для четвертого столбца

Дано: основание $a = \sqrt{3}$ и площадь $S = 3$.
Используем формулу $h = \frac{2S}{a}$.
Находим $h$:
$h = \frac{2 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$.
Ответ: $2\sqrt{3}$.

Расчет для пятого столбца

Дано: высота $h = \sqrt{2}$ и площадь $S = 2$.
Используем формулу $a = \frac{2S}{h}$.
Находим $a$:
$a = \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.
Ответ: $2\sqrt{2}$.

Расчет для шестого столбца

Дано: основание $a = \sqrt{2}$ и высота $h = \sqrt{3}$.
Находим площадь $S$:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Итоговая заполненная таблица:

(Синим цветом выделены вычисленные значения)