Страница 75 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что понимают под площадью фигуры?

2. Как вычислить площадь плоской фигуры?

3. Как определяется площадь квадрата со стороной, равной $a$?

4. Что такое равновеликие и равносоставленные фигуры? Чем они отличаются?

5. Какие аксиомы о площадях фигур вы знаете?

6. Как вычислить площадь прямоугольника? Сформулируйте и докажите соответствующую теорему.

1. Что понимают под площадью фигуры?

Под площадью фигуры понимают количественную характеристику, которая показывает размер части плоскости, ограниченной этой фигурой. Площадь является положительной скалярной величиной. Её значение для простой фигуры (фигуры, которую можно разбить на конечное число треугольников) определяется путем сравнения с эталоном — фигурой, площадь которой принимается за единицу. В качестве такого эталона, как правило, выбирают квадрат со стороной, равной единице измерения длины (например, 1 метр, 1 сантиметр). Таким образом, площадь фигуры показывает, сколько раз эталонная единица площади укладывается в данной фигуре. Это фундаментальное понятие в геометрии, позволяющее сравнивать фигуры различной формы.

Ответ: Площадь фигуры — это положительная величина, которая характеризует размер части плоскости, занимаемой этой фигурой, и измеряется в квадратных единицах.

2. Как вычислить площадь плоской фигуры?

Способ вычисления площади плоской фигуры зависит от её вида:

• Для простых многоугольников (таких как треугольник, прямоугольник, трапеция) существуют стандартные формулы, связывающие их площадь с линейными размерами (длинами сторон, высот, диагоналей).
• Для сложных многоугольников используется метод разбиения. Фигуру разбивают на несколько простых фигур (например, треугольников), площади которых можно легко вычислить. Общая площадь сложной фигуры равна сумме площадей её составных частей.
• Для фигур, ограниченных кривыми линиями (например, круг или область под параболой), площадь вычисляется с помощью методов интегрального исчисления. Наиболее распространённый метод — вычисление определённого интеграла. Например, площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$ (где $f(x) \ge 0$), осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$, находится по формуле: $S = \int_a^b f(x)dx$.

Ответ: Площадь плоской фигуры вычисляется либо с помощью готовых формул для простых фигур, либо путем разбиения сложной фигуры на простые и суммирования их площадей, либо с использованием методов интегрального исчисления для криволинейных фигур.

3. Как определяется площадь квадрата со стороной, равной a?

Площадь квадрата со стороной $a$ является основополагающим понятием в теории площадей. По определению (или согласно основной аксиоме измерения площадей), площадь квадрата равна квадрату длины его стороны. Это правило является отправной точкой для вывода формул площадей других фигур. Квадрат, сторона которого равна единице измерения длины (например, 1 м), называется единичным квадратом, а его площадь принимается за единицу измерения площади (1 м²).

Ответ: Площадь квадрата со стороной $a$ определяется по формуле $S = a^2$.

4. Что такое равновеликие и равносоставленные фигуры? Чем они отличаются?

Равновеликие фигуры — это фигуры, имеющие одинаковые площади. Например, квадрат со стороной 2 см ($S=4$ см²) и прямоугольник со сторонами 1 см и 4 см ($S=4$ см²) являются равновеликими.

Равносоставленные фигуры — это фигуры, которые можно разрезать на конечное число одинаковых попарно равных (конгруэнтных) частей. То есть, если одну фигуру можно "перекроить" в другую без остатка, то они равносоставлены.

Отличие заключается в самом определении. Равновеликость — это равенство числовой характеристики (площади), в то время как равносоставленность — это возможность геометрического преобразования одной фигуры в другую путем разрезания и перекладывания частей. Однако для многоугольников на плоскости эти два понятия эквивалентны, что доказывается теоремой Бойяи-Гервина: два многоугольника равновелики тогда и только тогда, когда они равносоставлены. Таким образом, любой многоугольник можно перекроить в равновеликий ему квадрат.

Ответ: Равновеликие фигуры — это фигуры с одинаковыми площадями. Равносоставленные фигуры — это фигуры, которые можно разбить на одинаковое число соответственно равных частей. Для многоугольников эти понятия эквивалентны, но их определения различны: одно основано на числовом значении площади, а другое — на возможности физического преобразования.

5. Какие аксиомы о площадях фигур вы знаете?

Существует несколько основных аксиом (свойств), которым подчиняется понятие площади:

1. Аксиома существования и положительности: Каждая простая плоская фигура имеет площадь, и эта площадь является положительным действительным числом. $S(F) > 0$.
2. Аксиома инвариантности (равенства): Равные (конгруэнтные) фигуры имеют равные площади. Если фигура $F_1$ равна фигуре $F_2$, то их площади также равны: $S(F_1) = S(F_2)$.
3. Аксиома аддитивности: Если фигура $F$ составлена из двух фигур $F_1$ и $F_2$, которые не имеют общих внутренних точек, то площадь фигуры $F$ равна сумме площадей фигур $F_1$ и $F_2$. $S(F_1 \cup F_2) = S(F_1) + S(F_2)$.
4. Аксиома нормировки (единицы измерения): Площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения длины, равна единице измерения площади. $S(\text{единичный квадрат}) = 1$.

Ответ: Основные аксиомы площадей: 1) Площадь — положительная величина. 2) Равные фигуры имеют равные площади. 3) Площадь фигуры, составленной из частей без общих внутренних точек, равна сумме площадей этих частей. 4) Площадь единичного квадрата равна единице.

6. Как вычислить площадь прямоугольника? Сформулируйте и докажите соответствующую теорему.

Теорема: Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон.

Если длины смежных сторон прямоугольника равны $a$ и $b$, то его площадь $S$ вычисляется по формуле: $S = a \cdot b$.

Доказательство:

Доказательство теоремы проводится в несколько этапов, в зависимости от того, какими числами (натуральными, рациональными или иррациональными) выражаются длины сторон.

1. Случай 1: Длины сторон $a$ и $b$ — натуральные числа.
   В этом случае прямоугольник можно разбить на $a$ полос, параллельных стороне $b$, и на $b$ полос, параллельных стороне $a$. В результате прямоугольник разобьется на $a \cdot b$ единичных квадратов. Согласно аксиоме аддитивности, площадь всего прямоугольника равна сумме площадей этих квадратов. Так как площадь единичного квадрата равна 1, то площадь прямоугольника будет равна $a \cdot b \cdot 1 = a \cdot b$.
2. Случай 2: Длины сторон $a$ и $b$ — рациональные числа (положительные дроби).
   Пусть $a = \frac{p}{q}$ и $b = \frac{r}{s}$, где $p, q, r, s$ — натуральные числа. Приведем дроби к общему знаменателю $n=qs$: $a = \frac{ps}{n}$, $b = \frac{qr}{n}$. Возьмем за новую единицу измерения длины отрезок длиной $\frac{1}{n}$. Тогда в новых единицах длины сторон будут равны целым числам $ps$ и $qr$. Площадь прямоугольника в новых квадратных единицах будет равна $(ps) \cdot (qr)$. Площадь новой квадратной единицы в исходных единицах равна $(\frac{1}{n})^2 = \frac{1}{n^2}$. Чтобы найти площадь прямоугольника в исходных единицах, нужно площадь в новых единицах умножить на $\frac{1}{n^2}$: $S = (ps \cdot qr) \cdot \frac{1}{n^2} = \frac{psqr}{(qs)^2} = \frac{psqr}{q^2s^2} = \frac{p}{q} \cdot \frac{r}{s} = a \cdot b$.
3. Случай 3: Хотя бы одна из длин сторон $a$ или $b$ — иррациональное число.
   Этот случай доказывается методом предельного перехода. Рассмотрим десятичные приближения числа $a$ по недостатку ($a_n$) и по избытку ($a'_n$), и аналогично для числа $b$ ($b_n$ и $b'_n$). Это будут рациональные числа, для которых формула уже доказана.
   $a_n \le a < a'_n$ и $b_n \le b < b'_n$.
   Наш прямоугольник с площадью $S$ содержит в себе прямоугольник со сторонами $a_n, b_n$ и содержится в прямоугольнике со сторонами $a'_n, b'_n$. Согласно свойствам площади: $S(a_n, b_n) \le S \le S(a'_n, b'_n)$.
   Поскольку $a_n, b_n, a'_n, b'_n$ — рациональные, то $a_n \cdot b_n \le S \le a'_n \cdot b'_n$.
   При увеличении точности приближения ($n \rightarrow \infty$), $a_n$ и $a'_n$ стремятся к $a$, а $b_n$ и $b'_n$ стремятся к $b$. Следовательно, произведения $a_n \cdot b_n$ и $a'_n \cdot b'_n$ стремятся к одному и тому же пределу $a \cdot b$. По теореме о двух милиционерах (о зажатой последовательности), единственное значение, которое может принимать $S$, это $a \cdot b$.

Таким образом, формула $S = a \cdot b$ верна для любых действительных положительных $a$ и $b$.

Ответ: Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — длины его смежных сторон.

Практическая работа

1. Найдите площадь поверхности парты, за которой вы сидите.

2. Вычислите площадь пола классной комнаты. Для покраски $1 \text{ м}^2$ пола расходуется $50 \text{ г}$ краски. Сколько килограммов краски потребуется?

1. Так как это практическая работа, для получения точного ответа необходимо измерить длину и ширину поверхности вашей парты с помощью рулетки или линейки. Поскольку реальные размеры неизвестны, приведем расчет для парты с примерными стандартными размерами.
Предположим, что поверхность парты имеет прямоугольную форму, ее длина $a = 1.2$ м, а ширина $b = 0.5$ м.
Площадь прямоугольной поверхности ($S$) вычисляется по формуле:
$S = a \times b$
Подставим наши значения:
$S = 1.2 \text{ м} \times 0.5 \text{ м} = 0.6 \text{ м}^2$
Ответ: при длине 1.2 м и ширине 0.5 м площадь поверхности парты составляет $0.6 \text{ м}^2$.

2. Для решения этой задачи также необходимы реальные измерения. Мы выполним вычисления для классной комнаты типовых размеров.
Предположим, что классная комната имеет прямоугольную форму с длиной $a = 8$ м и шириной $b = 6$ м.
Шаг 1: Вычисление площади пола.
Площадь пола ($S_{пола}$) найдем по формуле площади прямоугольника:
$S_{пола} = a \times b = 8 \text{ м} \times 6 \text{ м} = 48 \text{ м}^2$
Шаг 2: Расчет количества краски.
По условию, на покраску $1 \text{ м}^2$ пола расходуется 50 г краски. Чтобы найти общую массу краски, необходимо площадь пола умножить на расход краски на квадратный метр.
$m_{краски} = S_{пола} \times 50 \text{ г/м}^2$
$m_{краски} = 48 \text{ м}^2 \times 50 \text{ г/м}^2 = 2400 \text{ г}$
Шаг 3: Перевод граммов в килограммы.
В вопросе требуется указать ответ в килограммах. Зная, что $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$, переведем полученное значение:
$m_{краски} = \frac{2400 \text{ г}}{1000 \text{ г/кг}} = 2.4 \text{ кг}$
Ответ: для покраски пола классной комнаты площадью $48 \text{ м}^2$ потребуется 2.4 кг краски.

Творческая работа

На рисунке изображен жилой комплекс «Северное сияние», г. Астана. Полагая, что каждый квадратик на гранях всех зданий имеет размерность $3,3 \times 3,3$ м, оцените:

1) площадь боковых граней здания, расположенного в центре на переднем плане;

2) высоту этого здания;

3) пользуясь ресурсами ИКТ, проверьте и найдите абсолютную и относительную погрешность результатов ваших вычислений.

Для решения задачи произведем оценку размеров центрального здания на основе предоставленного изображения и данных.

1) площадь боковых граней здания, расположенного в центре на переднем плане

Для оценки площади боковых граней (поверхности) здания, мы сначала посчитаем количество квадратных панелей по высоте и ширине видимых граней. Примем, что здание в основании имеет форму прямоугольника.

1. Подсчет панелей.
- Посчитаем количество панелей по высоте здания. При внимательном рассмотрении можно насчитать примерно 43 ряда панелей. Обозначим это как $N_h = 43$.
- Посчитаем количество панелей по ширине большей (фронтальной) грани. В средней части оно составляет примерно 20 панелей. Обозначим это как $N_{w1} = 20$.
- Ширину меньшей (боковой) грани оценить сложно из-за ракурса. Предположим, что она в два раза меньше широкой грани, то есть примерно 10 панелей. Обозначим это как $N_{w2} = 10$.

2. Площадь одной панели.
По условию, каждая панель имеет размер $3,3 \times 3,3$ м. Ее площадь $S_{п}$ составляет:
$S_{п} = 3,3 \text{ м} \times 3,3 \text{ м} = 10,89 \text{ м}^2$.

3. Общая площадь боковых граней.
Площадь боковой поверхности здания ($S_{бок}$) оценим как сумму площадей всех панелей на четырех гранях. Общее количество панелей равно периметру в панелях, умноженному на высоту в панелях.
Количество панелей по периметру: $P_N = 2 \times N_{w1} + 2 \times N_{w2} = 2 \times 20 + 2 \times 10 = 40 + 20 = 60$ панелей.
Общее количество панелей на боковых гранях: $N_{общ} = P_N \times N_h = 60 \times 43 = 2580$ панелей.
Расчетная площадь боковых граней:
$S_{бок} = N_{общ} \times S_{п} = 2580 \times 10,89 \text{ м}^2 = 28096,2 \text{ м}^2$.

Ответ: Оценочная площадь боковых граней здания составляет $28096,2 \text{ м}^2$.

2) высоту этого здания

Высоту здания ($H$) оценим, умножив количество панелей по вертикали на высоту одной панели.

1. Количество панелей по высоте: $N_h = 43$.
2. Высота одной панели: $3,3$ м.

Расчетная высота здания:
$H = N_h \times 3,3 \text{ м} = 43 \times 3,3 \text{ м} = 141,9 \text{ м}$.

Ответ: Оценочная высота здания составляет $141,9$ м.

3) пользуясь ресурсами ИКТ, проверьте и найдите абсолютную и относительную погрешность результатов ваших вычислений

Воспользуемся интернет-ресурсами для поиска точных данных о жилом комплексе «Северное сияние» в г. Астана (ныне Нур-Султан).

1. Поиск точных данных.
Согласно данным из открытых источников (например, Wikipedia, Skyscrapercenter.com), самое высокое здание комплекса (башня 1, расположенная в центре) имеет высоту 180 метров и насчитывает 44 этажа.

2. Расчет погрешностей для высоты.
- Приближенное значение (наша оценка): $H_{прибл} = 141,9$ м.
- Точное значение: $H_{точн} = 180$ м.
- Абсолютная погрешность $(\Delta_H)$ вычисляется по формуле $\Delta = |a_{точн} - a_{прибл}|$:
$\Delta_H = |180 - 141,9| = 38,1$ м.
- Относительная погрешность $(\varepsilon_H)$ вычисляется по формуле $\varepsilon = \frac{\Delta}{|a_{точн}|} \times 100\%$:
$\varepsilon_H = \frac{38,1}{180} \times 100\% \approx 0,2117 \times 100\% \approx 21,2\%$.

3. Расчет погрешностей для площади боковых граней.
Найти точное значение площади фасадов в открытых источниках затруднительно. Поэтому для проверки мы рассчитаем "уточненную" площадь, используя точную высоту ($180$ м) и наши оценки ширины граней.
- Ширина граней в метрах (по нашей оценке):
$w_1 = N_{w1} \times 3,3 = 20 \times 3,3 = 66$ м.
$w_2 = N_{w2} \times 3,3 = 10 \times 3,3 = 33$ м.
- Периметр основания: $P = 2 \times w_1 + 2 \times w_2 = 2 \times 66 + 2 \times 33 = 132 + 66 = 198$ м.
- "Точное" значение площади (прокси-значение): $S_{точн} = P \times H_{точн} = 198 \text{ м} \times 180 \text{ м} = 35640 \text{ м}^2$.
- Приближенное значение (наша оценка): $S_{прибл} = 28096,2 \text{ м}^2$.
- Абсолютная погрешность $(\Delta_S)$:
$\Delta_S = |35640 - 28096,2| = 7543,8 \text{ м}^2$.
- Относительная погрешность $(\varepsilon_S)$:
$\varepsilon_S = \frac{7543,8}{35640} \times 100\% \approx 0,2117 \times 100\% \approx 21,2\%$.

Ответ:
- Для высоты: абсолютная погрешность $\Delta_H = 38,1$ м, относительная погрешность $\varepsilon_H \approx 21,2\%$.
- Для площади боковых граней: абсолютная погрешность $\Delta_S = 7543,8 \text{ м}^2$, относительная погрешность $\varepsilon_S \approx 21,2\%$.

3.1. Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны $a$ и $b$:

1) $a = 3,4 \text{ см}$, $b = 5,5 \text{ см}$;

2) $a = 2 \text{ м}$, $b = 7 \text{ м}$;

3) $a = \frac{2}{3} \text{ дм}$, $b = \frac{3}{2} \text{ дм}$.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ – длины его смежных сторон.

1)

Даны стороны прямоугольника: $a = 3,4$ см и $b = 5,5$ см.

Подставим значения в формулу, чтобы найти площадь:

$S = 3,4 \text{ см} \cdot 5,5 \text{ см} = 18,7 \text{ см}^2$.

Ответ: $18,7 \text{ см}^2$.

2)

Даны стороны прямоугольника: $a = 2$ м и $b = 7$ м.

Подставим значения в формулу, чтобы найти площадь:

$S = 2 \text{ м} \cdot 7 \text{ м} = 14 \text{ м}^2$.

Ответ: $14 \text{ м}^2$.

3)

Даны стороны прямоугольника: $a = \frac{2}{3}$ дм и $b = \frac{3}{2}$ дм.

Подставим значения в формулу, чтобы найти площадь:

$S = \frac{2}{3} \text{ дм} \cdot \frac{3}{2} \text{ дм} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 2} \text{ дм}^2 = \frac{6}{6} \text{ дм}^2 = 1 \text{ дм}^2$.

Ответ: $1 \text{ дм}^2$.

3.2. Точки $N$, $E$, $L$ и $K$ – середины соответствующих сторон $AB$, $AD$, $BC$ и $CD$ прямоугольника $ABCD$ (рис. 3.7). Какую часть площади прямоугольника $ABCD$ составляют площади следующих фигур:

1) $\triangle ABD$;

2) $\triangle ABE$;

3) $ABKD$;

4) $ABLKD$;

5) $ABLKE$;

6) $LKEN$;

7) $ALD$ и $BEC$?

Обозначим стороны прямоугольника $ABCD$ как $AD = a$ и $AB = b$. Тогда площадь прямоугольника равна $S_{ABCD} = a \cdot b$.

По условию задачи, точки $N, E, L, K$ являются серединами сторон $AB, AD, BC, CD$ соответственно. Следовательно:

• $N$ — середина $AB$, поэтому $AN = NB = \frac{b}{2}$
• $E$ — середина $AD$, поэтому $AE = ED = \frac{a}{2}$
• $L$ — середина $BC$, поэтому $BL = LC = \frac{a}{2}$ (так как $BC=AD$)
• $K$ — середина $CD$, поэтому $CK = KD = \frac{b}{2}$ (так как $CD=AB$)

1) ΔABD;

Треугольник $ABD$ является прямоугольным, так как его стороны $AB$ и $AD$ являются сторонами прямоугольника. Его площадь равна половине произведения катетов $AB$ и $AD$.

$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AB = \frac{1}{2} a b$.

Отношение площади треугольника $ABD$ к площади прямоугольника $ABCD$ составляет:

$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{1}{2}ab}{ab} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) ΔABE;

Треугольник $ABE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$. Его катеты — $AB$ и $AE$. Длина $AB = b$, а $AE = \frac{AD}{2} = \frac{a}{2}$.

Площадь треугольника $ABE$ равна:

$S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AE = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{a}{2} = \frac{ab}{4}$.

Отношение его площади к площади прямоугольника:

$\frac{S_{\triangle ABE}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{1}{4}ab}{ab} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

3) ΔBKD;

Для нахождения площади треугольника $BKD$ примем за основание сторону $KD$. Длина основания $KD = \frac{CD}{2} = \frac{b}{2}$. Высотой, проведенной из вершины $B$ к основанию $KD$ (и прямой $CD$), будет сторона $BC$, длина которой равна $a$.

Площадь треугольника $BKD$ равна:

$S_{\triangle BKD} = \frac{1}{2} \cdot KD \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{b}{2} \cdot a = \frac{ab}{4}$.

Отношение его площади к площади прямоугольника:

$\frac{S_{\triangle BKD}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{1}{4}ab}{ab} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

4) ABLKD;

Фигура $ABLKD$ — это пятиугольник. Его площадь можно найти, вычтя из площади всего прямоугольника $ABCD$ площадь треугольника $CLK$.

Треугольник $CLK$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. Его катеты — $CL$ и $CK$.

$CL = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$ и $CK = \frac{CD}{2} = \frac{b}{2}$.

Площадь треугольника $CLK$ равна:

$S_{\triangle CLK} = \frac{1}{2} \cdot CL \cdot CK = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} = \frac{ab}{8}$.

Площадь пятиугольника $ABLKD$ равна:

$S_{ABLKD} = S_{ABCD} - S_{\triangle CLK} = ab - \frac{ab}{8} = \frac{7}{8}ab$.

Отношение его площади к площади прямоугольника:

$\frac{S_{ABLKD}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{7}{8}ab}{ab} = \frac{7}{8}$.

Ответ: $\frac{7}{8}$.

5) ABLKE;

Фигура $ABLKE$ — это пятиугольник. Его площадь можно найти, вычтя из площади прямоугольника $ABCD$ площади двух треугольников: $\triangle CLK$ и $\triangle EKD$.

Площадь $\triangle CLK$ мы уже нашли, она равна $\frac{ab}{8}$.

Треугольник $EKD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$. Его катеты — $ED$ и $KD$.

$ED = \frac{AD}{2} = \frac{a}{2}$ и $KD = \frac{CD}{2} = \frac{b}{2}$.

Площадь треугольника $EKD$ равна:

$S_{\triangle EKD} = \frac{1}{2} \cdot ED \cdot KD = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} = \frac{ab}{8}$.

Площадь пятиугольника $ABLKE$ равна:

$S_{ABLKE} = S_{ABCD} - S_{\triangle CLK} - S_{\triangle EKD} = ab - \frac{ab}{8} - \frac{ab}{8} = ab - \frac{2ab}{8} = ab - \frac{ab}{4} = \frac{3}{4}ab$.

Отношение его площади к площади прямоугольника:

$\frac{S_{ABLKE}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{3}{4}ab}{ab} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

6) LKEN;

Четырехугольник $LKEN$ соединяет середины сторон прямоугольника. Его площадь можно найти, вычтя из площади прямоугольника $ABCD$ площади четырех угловых треугольников: $\triangle NAE$, $\triangle NBL$, $\triangle LCK$ и $\triangle KDE$.

Площади всех этих треугольников равны:

$S_{\triangle NAE} = S_{\triangle NBL} = S_{\triangle LCK} = S_{\triangle KDE} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} = \frac{ab}{8}$.

Сумма их площадей равна $4 \cdot \frac{ab}{8} = \frac{ab}{2}$.

Площадь четырехугольника $LKEN$ равна:

$S_{LKEN} = S_{ABCD} - 4 \cdot \frac{ab}{8} = ab - \frac{ab}{2} = \frac{1}{2}ab$.

Отношение его площади к площади прямоугольника:

$\frac{S_{LKEN}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{1}{2}ab}{ab} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

7) ALD и BEC?

Найдем площади треугольников $ALD$ и $BEC$.

Для треугольника $ALD$ основание $AD = a$. Высота, проведенная из вершины $L$ к основанию $AD$, равна стороне $AB=b$.

$S_{\triangle ALD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot b = \frac{1}{2}ab$.

Для треугольника $BEC$ основание $BC = a$. Высота, проведенная из вершины $E$ к основанию $BC$, равна стороне $AB=b$.

$S_{\triangle BEC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot b = \frac{1}{2}ab$.

Отношение площади каждого из этих треугольников к площади прямоугольника составляет $\frac{\frac{1}{2}ab}{ab} = \frac{1}{2}$.

Ответ: Площадь каждого из треугольников $\triangle ALD$ и $\triangle BEC$ составляет $\frac{1}{2}$ площади прямоугольника $ABCD$.