Вопросы, страница 75 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что понимают под площадью фигуры?

2. Как вычислить площадь плоской фигуры?

3. Как определяется площадь квадрата со стороной, равной $a$?

4. Что такое равновеликие и равносоставленные фигуры? Чем они отличаются?

5. Какие аксиомы о площадях фигур вы знаете?

6. Как вычислить площадь прямоугольника? Сформулируйте и докажите соответствующую теорему.

1. Что понимают под площадью фигуры?

Под площадью фигуры понимают количественную характеристику, которая показывает размер части плоскости, ограниченной этой фигурой. Площадь является положительной скалярной величиной. Её значение для простой фигуры (фигуры, которую можно разбить на конечное число треугольников) определяется путем сравнения с эталоном — фигурой, площадь которой принимается за единицу. В качестве такого эталона, как правило, выбирают квадрат со стороной, равной единице измерения длины (например, 1 метр, 1 сантиметр). Таким образом, площадь фигуры показывает, сколько раз эталонная единица площади укладывается в данной фигуре. Это фундаментальное понятие в геометрии, позволяющее сравнивать фигуры различной формы.

Ответ: Площадь фигуры — это положительная величина, которая характеризует размер части плоскости, занимаемой этой фигурой, и измеряется в квадратных единицах.

2. Как вычислить площадь плоской фигуры?

Способ вычисления площади плоской фигуры зависит от её вида:

• Для простых многоугольников (таких как треугольник, прямоугольник, трапеция) существуют стандартные формулы, связывающие их площадь с линейными размерами (длинами сторон, высот, диагоналей).
• Для сложных многоугольников используется метод разбиения. Фигуру разбивают на несколько простых фигур (например, треугольников), площади которых можно легко вычислить. Общая площадь сложной фигуры равна сумме площадей её составных частей.
• Для фигур, ограниченных кривыми линиями (например, круг или область под параболой), площадь вычисляется с помощью методов интегрального исчисления. Наиболее распространённый метод — вычисление определённого интеграла. Например, площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$ (где $f(x) \ge 0$), осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$, находится по формуле: $S = \int_a^b f(x)dx$.

Ответ: Площадь плоской фигуры вычисляется либо с помощью готовых формул для простых фигур, либо путем разбиения сложной фигуры на простые и суммирования их площадей, либо с использованием методов интегрального исчисления для криволинейных фигур.

3. Как определяется площадь квадрата со стороной, равной a?

Площадь квадрата со стороной $a$ является основополагающим понятием в теории площадей. По определению (или согласно основной аксиоме измерения площадей), площадь квадрата равна квадрату длины его стороны. Это правило является отправной точкой для вывода формул площадей других фигур. Квадрат, сторона которого равна единице измерения длины (например, 1 м), называется единичным квадратом, а его площадь принимается за единицу измерения площади (1 м²).

Ответ: Площадь квадрата со стороной $a$ определяется по формуле $S = a^2$.

4. Что такое равновеликие и равносоставленные фигуры? Чем они отличаются?

Равновеликие фигуры — это фигуры, имеющие одинаковые площади. Например, квадрат со стороной 2 см ($S=4$ см²) и прямоугольник со сторонами 1 см и 4 см ($S=4$ см²) являются равновеликими.

Равносоставленные фигуры — это фигуры, которые можно разрезать на конечное число одинаковых попарно равных (конгруэнтных) частей. То есть, если одну фигуру можно "перекроить" в другую без остатка, то они равносоставлены.

Отличие заключается в самом определении. Равновеликость — это равенство числовой характеристики (площади), в то время как равносоставленность — это возможность геометрического преобразования одной фигуры в другую путем разрезания и перекладывания частей. Однако для многоугольников на плоскости эти два понятия эквивалентны, что доказывается теоремой Бойяи-Гервина: два многоугольника равновелики тогда и только тогда, когда они равносоставлены. Таким образом, любой многоугольник можно перекроить в равновеликий ему квадрат.

Ответ: Равновеликие фигуры — это фигуры с одинаковыми площадями. Равносоставленные фигуры — это фигуры, которые можно разбить на одинаковое число соответственно равных частей. Для многоугольников эти понятия эквивалентны, но их определения различны: одно основано на числовом значении площади, а другое — на возможности физического преобразования.

5. Какие аксиомы о площадях фигур вы знаете?

Существует несколько основных аксиом (свойств), которым подчиняется понятие площади:

1. Аксиома существования и положительности: Каждая простая плоская фигура имеет площадь, и эта площадь является положительным действительным числом. $S(F) > 0$.
2. Аксиома инвариантности (равенства): Равные (конгруэнтные) фигуры имеют равные площади. Если фигура $F_1$ равна фигуре $F_2$, то их площади также равны: $S(F_1) = S(F_2)$.
3. Аксиома аддитивности: Если фигура $F$ составлена из двух фигур $F_1$ и $F_2$, которые не имеют общих внутренних точек, то площадь фигуры $F$ равна сумме площадей фигур $F_1$ и $F_2$. $S(F_1 \cup F_2) = S(F_1) + S(F_2)$.
4. Аксиома нормировки (единицы измерения): Площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения длины, равна единице измерения площади. $S(\text{единичный квадрат}) = 1$.

Ответ: Основные аксиомы площадей: 1) Площадь — положительная величина. 2) Равные фигуры имеют равные площади. 3) Площадь фигуры, составленной из частей без общих внутренних точек, равна сумме площадей этих частей. 4) Площадь единичного квадрата равна единице.

6. Как вычислить площадь прямоугольника? Сформулируйте и докажите соответствующую теорему.

Теорема: Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон.

Если длины смежных сторон прямоугольника равны $a$ и $b$, то его площадь $S$ вычисляется по формуле: $S = a \cdot b$.

Доказательство:

Доказательство теоремы проводится в несколько этапов, в зависимости от того, какими числами (натуральными, рациональными или иррациональными) выражаются длины сторон.

1. Случай 1: Длины сторон $a$ и $b$ — натуральные числа.
   В этом случае прямоугольник можно разбить на $a$ полос, параллельных стороне $b$, и на $b$ полос, параллельных стороне $a$. В результате прямоугольник разобьется на $a \cdot b$ единичных квадратов. Согласно аксиоме аддитивности, площадь всего прямоугольника равна сумме площадей этих квадратов. Так как площадь единичного квадрата равна 1, то площадь прямоугольника будет равна $a \cdot b \cdot 1 = a \cdot b$.
2. Случай 2: Длины сторон $a$ и $b$ — рациональные числа (положительные дроби).
   Пусть $a = \frac{p}{q}$ и $b = \frac{r}{s}$, где $p, q, r, s$ — натуральные числа. Приведем дроби к общему знаменателю $n=qs$: $a = \frac{ps}{n}$, $b = \frac{qr}{n}$. Возьмем за новую единицу измерения длины отрезок длиной $\frac{1}{n}$. Тогда в новых единицах длины сторон будут равны целым числам $ps$ и $qr$. Площадь прямоугольника в новых квадратных единицах будет равна $(ps) \cdot (qr)$. Площадь новой квадратной единицы в исходных единицах равна $(\frac{1}{n})^2 = \frac{1}{n^2}$. Чтобы найти площадь прямоугольника в исходных единицах, нужно площадь в новых единицах умножить на $\frac{1}{n^2}$: $S = (ps \cdot qr) \cdot \frac{1}{n^2} = \frac{psqr}{(qs)^2} = \frac{psqr}{q^2s^2} = \frac{p}{q} \cdot \frac{r}{s} = a \cdot b$.
3. Случай 3: Хотя бы одна из длин сторон $a$ или $b$ — иррациональное число.
   Этот случай доказывается методом предельного перехода. Рассмотрим десятичные приближения числа $a$ по недостатку ($a_n$) и по избытку ($a'_n$), и аналогично для числа $b$ ($b_n$ и $b'_n$). Это будут рациональные числа, для которых формула уже доказана.
   $a_n \le a < a'_n$ и $b_n \le b < b'_n$.
   Наш прямоугольник с площадью $S$ содержит в себе прямоугольник со сторонами $a_n, b_n$ и содержится в прямоугольнике со сторонами $a'_n, b'_n$. Согласно свойствам площади: $S(a_n, b_n) \le S \le S(a'_n, b'_n)$.
   Поскольку $a_n, b_n, a'_n, b'_n$ — рациональные, то $a_n \cdot b_n \le S \le a'_n \cdot b'_n$.
   При увеличении точности приближения ($n \rightarrow \infty$), $a_n$ и $a'_n$ стремятся к $a$, а $b_n$ и $b'_n$ стремятся к $b$. Следовательно, произведения $a_n \cdot b_n$ и $a'_n \cdot b'_n$ стремятся к одному и тому же пределу $a \cdot b$. По теореме о двух милиционерах (о зажатой последовательности), единственное значение, которое может принимать $S$, это $a \cdot b$.

Таким образом, формула $S = a \cdot b$ верна для любых действительных положительных $a$ и $b$.

Ответ: Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — длины его смежных сторон.