Номер 2.92, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.92. В прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найдите периметр квадрата.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$, и катетами $AC = 5$ см и $BC = 12$ см. В него вписан квадрат $CDEF$, имеющий с треугольником общий прямой угол $C$. Это означает, что вершины $D$ и $F$ квадрата лежат на катетах $AC$ и $BC$ соответственно, а вершина $E$ — на гипотенузе $AB$.

Обозначим сторону квадрата через $x$. Тогда $CD = CF = DE = FE = x$.Поскольку точка $D$ лежит на катете $AC$, то длина отрезка $AD$ равна $AC - CD = 5 - x$.

Рассмотрим треугольник $ADE$, который образуется в верхней части большого треугольника. Так как $CDEF$ — квадрат, его сторона $DE$ параллельна стороне $CF$, которая лежит на катете $BC$. Таким образом, $DE \parallel BC$. Поскольку катет $AC$ перпендикулярен катету $BC$ (так как $\angle C = 90^\circ$), то $AC$ также перпендикулярен и прямой $DE$. Следовательно, угол $\angle ADE$ является прямым, т.е. $\angle ADE = 90^\circ$.

Теперь мы можем доказать подобие треугольников $ADE$ и $ABC$. Они подобны по двум углам:
1. Угол $\angle DAE$ (или $\angle A$) является общим для обоих треугольников.
2. Углы $\angle ADE$ и $\angle ACB$ оба прямые ($\angle ADE = \angle ACB = 90^\circ$).
Следовательно, треугольники $ADE$ и $ABC$ подобны ($\triangle ADE \sim \triangle ABC$).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно. Составим пропорцию для катетов:
$\frac{AD}{AC} = \frac{DE}{BC}$

Подставим известные значения и переменную $x$ в эту пропорцию:
$\frac{5 - x}{5} = \frac{x}{12}$

Решим полученное уравнение относительно $x$, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$12 \cdot (5 - x) = 5 \cdot x$
$60 - 12x = 5x$
$60 = 5x + 12x$
$60 = 17x$
$x = \frac{60}{17}$

Мы нашли длину стороны квадрата: $x = \frac{60}{17}$ см.Теперь найдем периметр квадрата, который вычисляется по формуле $P = 4x$.
$P = 4 \cdot \frac{60}{17} = \frac{240}{17}$ см.

Ответ: $\frac{240}{17}$ см.