Номер 2.91, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.91. Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, а произведение катетов – $48 \text{ см}^2$. Найдите радиусы описанной около треугольника и вписанной в треугольник окружностей.

Радиус описанной около треугольника окружности

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу — как $c$. Из условия задачи нам даны периметр $P$ и произведение катетов:
$P = a + b + c = 24$ см
$a \cdot b = 48$ см$^2$

Для нахождения радиуса описанной окружности $R$ нам необходимо сначала найти длину гипотенузы $c$. Радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы: $R = \frac{c}{2}$.

Выразим сумму катетов из формулы периметра: $a + b = 24 - c$.
Воспользуемся теоремой Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$ и алгебраическим тождеством $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.
Подставим известные значения в тождество:
$(24 - c)^2 = (a^2 + b^2) + 2(ab)$
$(24 - c)^2 = c^2 + 2 \cdot 48$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $c$:
$24^2 - 2 \cdot 24 \cdot c + c^2 = c^2 + 96$
$576 - 48c + c^2 = c^2 + 96$
$576 - 96 = 48c$
$480 = 48c$
$c = 10$ см.

Теперь мы можем найти радиус описанной окружности:
$R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

Радиус вписанной в треугольник окружности

Радиус вписанной окружности $r$ можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24$ см$^2$.

Полупериметр — это половина периметра:
$p = \frac{P}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Подставляем найденные значения в формулу для радиуса вписанной окружности:
$r = \frac{S}{p} = \frac{24}{12} = 2$ см.

Также для проверки можно использовать другую формулу, справедливую для прямоугольного треугольника: $r = \frac{a + b - c}{2}$. Мы ранее нашли, что $c=10$ см и $a+b = 24 - c = 24 - 10 = 14$ см.
$r = \frac{14 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.
Результаты совпадают.

Ответ: 2 см.