Номер 2.85, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.85. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см. Найдите катеты (рис. 2.32).

Рис. 2.32

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $\angle C = 90^\circ$. В треугольник вписана окружность, которая касается гипотенузы $AB$ в точке $D$. По условию, точка $D$ делит гипотенузу на отрезки $AD = 5$ см и $DB = 12$ см.

Длина гипотенузы $c$ равна сумме длин этих отрезков:
$c = AB = AD + DB = 5 + 12 = 17$ см.

Пусть окружность касается катетов $AC$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, длины отрезков касательных от вершины до точек касания равны. Следовательно, мы имеем:

• $AE = AD = 5$ см (касательные из точки $A$)
• $BF = BD = 12$ см (касательные из точки $B$)

Пусть $r$ — радиус вписанной окружности. В прямоугольном треугольнике четырехугольник, образованный вершиной прямого угла $C$, точками касания на катетах $E$ и $F$, и центром окружности $O$, является квадратом. Отсюда следует, что $CE = CF = r$.

Теперь мы можем выразить длины катетов $a$ и $b$ через радиус $r$:

• Катет $a = BC = BF + FC = 12 + r$
• Катет $b = AC = AE + EC = 5 + r$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$ имеем: $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим в это уравнение выражения для сторон:

$(12 + r)^2 + (5 + r)^2 = 17^2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $r$:

$(144 + 24r + r^2) + (25 + 10r + r^2) = 289$

$2r^2 + 34r + 169 = 289$

$2r^2 + 34r - 120 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$r^2 + 17r - 60 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно $-60$, а их сумма равна $-17$. Этим условиям удовлетворяют числа $3$ и $-20$.
$r_1 = 3$, $r_2 = -20$.

Поскольку радиус окружности не может быть отрицательной величиной, мы выбираем корень $r = 3$ см.

Теперь найдем длины катетов, подставив значение $r=3$:

• Катет $AC = 5 + r = 5 + 3 = 8$ см.
• Катет $BC = 12 + r = 12 + 3 = 15$ см.

Ответ: катеты равны 8 см и 15 см.