Номер 2.78, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.78. Постройте треугольник из задачи 2.73.

2.79. П...

Для построения треугольника по стороне $a$, противолежащему углу $\alpha$ и медиане $m_b$, проведенной к другой стороне, воспользуемся методом геометрических мест.

Пусть нам даны три отрезка, соответствующие стороне $a$, медиане $m_b$, и угол $\alpha$. Искомый треугольник обозначим как $ABC$, где $BC=a$, $\angle BAC = \alpha$, и медиана из вершины $B$ к стороне $AC$ равна $m_b$.

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. В нем $BC=a$, $\angle BAC = \alpha$, и $BM = m_b$, где $M$ — середина стороны $AC$.

1. Вершина $A$ должна лежать на геометрическом месте точек, из которых отрезок $BC$ виден под углом $\alpha$. Это ГМТ представляет собой дугу окружности $\Gamma$, проходящую через точки $B$ и $C$.

2. Точка $M$ является серединой отрезка $AC$. Это означает, что $M$ является образом точки $A$ при гомотетии (центральном подобии) с центром в точке $C$ и коэффициентом $k=1/2$. Следовательно, когда точка $A$ движется по дуге $\Gamma$, точка $M$ движется по дуге $\Gamma'$, которая является образом дуги $\Gamma$ при этой гомотетии.

3. Также нам известно, что расстояние от вершины $B$ до точки $M$ равно $m_b$. Это означает, что точка $M$ должна лежать на окружности $\omega$ с центром в точке $B$ и радиусом $m_b$.

Таким образом, точка $M$ является точкой пересечения двух геометрических мест: дуги $\Gamma'$ и окружности $\omega$. Найдя точку $M$, мы можем легко найти вершину $A$, так как точка $A$ лежит на луче $CM$ на расстоянии $2 \cdot CM$ от точки $C$.

1. Построить отрезок $BC$ длиной $a$.

2. Построить дугу $\Gamma$ — геометрическое место точек, из которых отрезок $BC$ виден под углом $\alpha$. Для этого:

   • Провести серединный перпендикуляр к отрезку $BC$.

   • От луча $CB$ в нужную полуплоскость отложить угол $\angle BCX = 90^\circ - \alpha$.

   • От луча $BC$ в ту же полуплоскость отложить угол $\angle CBY = 90^\circ - \alpha$.

   • Точка $O$, где пересекаются лучи $CX$ и $BY$, будет центром дуги $\Gamma$.

   • Провести дугу окружности $\Gamma$ с центром $O$ и радиусом $R = OB = OC$.

3. Построить дугу $\Gamma'$, являющуюся образом дуги $\Gamma$ при гомотетии с центром в точке $C$ и коэффициентом $k=1/2$.

   • Найти середину $O'$ отрезка $OC$. Это будет центр дуги $\Gamma'$.

   • Радиус дуги $\Gamma'$ будет равен $R' = R/2$.

   • Построить дугу $\Gamma'$ с центром $O'$ и радиусом $R'$.

4. Построить окружность $\omega$ с центром в точке $B$ и радиусом, равным длине медианы $m_b$.

5. Найти точку (или точки) $M$ пересечения дуги $\Gamma'$ и окружности $\omega$.

6. Для каждой найденной точки $M$ выполнить следующие действия:

   • Провести луч $CM$.

   • На луче $CM$ отложить отрезок $CA = 2 \cdot CM$. Полученная точка $A$ является третьей вершиной треугольника.

   • Соединить точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ построен.

Докажем, что построенный треугольник $ABC$ является искомым.

1. Сторона $BC$ по построению равна $a$.

2. Точка $M$ лежит на окружности $\omega(B, m_b)$, поэтому отрезок $BM$ имеет длину $m_b$. По построению, $M$ является серединой отрезка $AC$ ($CA = 2 \cdot CM$). Следовательно, $BM$ — это медиана, проведенная к стороне $AC$, и ее длина равна $m_b$.

3. Точка $M$ лежит на дуге $\Gamma'$, которая является образом дуги $\Gamma$ при гомотетии с центром $C$ и коэффициентом $1/2$. Точка $A$ была построена как образ $M$ при гомотетии с центром $C$ и коэффициентом $2$. Следовательно, точка $A$ лежит на дуге $\Gamma$. По свойству этой дуги, угол $\angle BAC$, опирающийся на хорду $BC$, равен заданному углу $\alpha$.

Таким образом, все условия задачи выполнены, и построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Число решений задачи зависит от числа точек пересечения дуги $\Gamma'$ и окружности $\omega(B, m_b)$.

Пусть $R'$ — радиус окружности, содержащей дугу $\Gamma'$, $O'$ — ее центр, и $d = |BO'|$ — расстояние между центрами $B$ и $O'$. Окружность и дуга могут пересекаться, если выполняются условия для пересечения окружностей: $|R' - d| \le m_b \le R' + d$.

• Если $m_b < |R' - d|$ или $m_b > R' + d$, то окружности не пересекаются, и решений нет (0 решений).

• Если $m_b = |R' - d|$ или $m_b = R' + d$, окружности касаются. Если точка касания принадлежит дуге $\Gamma'$, то задача имеет одно решение.

• Если $|R' - d| < m_b < R' + d$, окружности пересекаются в двух точках. Каждая точка пересечения, лежащая на дуге $\Gamma'$, дает одно решение. Таким образом, задача может иметь одно или два решения.

В общем случае, в зависимости от соотношения заданных величин $a$, $\alpha$ и $m_b$, задача может иметь 0, 1 или 2 решения.

Ответ: Алгоритм построения треугольника описан в разделе «Построение». Задача может иметь 0, 1 или 2 решения в зависимости от заданных длин стороны, медианы и величины угла.