Номер 2.73, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.73. Даны катеты $a$ и $b$ прямоугольного треугольника. Найдите гипотенузу и углы треугольника.

1) $a = 4$ см, $b = 3$ см;

2) $a = 12$ см, $b = 5$ см;

3) $a = b = 3\sqrt{2}$ см.

1) Даны катеты $a = 4$ см и $b = 3$ см.

Для нахождения гипотенузы $c$ используем теорему Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$.

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

Обозначим углы, противолежащие катетам $a$ и $b$, как $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Третий угол, прямой, равен $90^\circ$.

Тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $\tan(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{4}{3}$.

Отсюда, $\alpha = \arctan(\frac{4}{3})$.

Тангенс угла $\beta$ равен: $\tan(\beta) = \frac{b}{a} = \frac{3}{4}$.

Отсюда, $\beta = \arctan(\frac{3}{4})$.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$: $\alpha + \beta = 90^\circ$.

Приближенные значения углов: $\alpha \approx 53.13^\circ$, $\beta \approx 36.87^\circ$.

Ответ: гипотенуза равна 5 см, углы треугольника равны $90^\circ$, $\arctan(\frac{4}{3})$ (приблизительно $53.13^\circ$) и $\arctan(\frac{3}{4})$ (приблизительно $36.87^\circ$).

2) Даны катеты $a = 12$ см и $b = 5$ см.

По теореме Пифагора находим гипотенузу $c$:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.

Найдем острые углы $\alpha$ (противолежащий катету $a$) и $\beta$ (противолежащий катету $b$).

$\tan(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{12}{5} = 2.4$.

$\alpha = \arctan(\frac{12}{5})$.

$\tan(\beta) = \frac{b}{a} = \frac{5}{12}$.

$\beta = \arctan(\frac{5}{12})$.

Приближенные значения углов: $\alpha \approx 67.38^\circ$, $\beta \approx 22.62^\circ$.

Ответ: гипотенуза равна 13 см, углы треугольника равны $90^\circ$, $\arctan(\frac{12}{5})$ (приблизительно $67.38^\circ$) и $\arctan(\frac{5}{12})$ (приблизительно $22.62^\circ$).

3) Даны катеты $a = b = 3\sqrt{2}$ см.

Так как катеты равны ($a=b$), данный треугольник является равнобедренным прямоугольным треугольником.

Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{18 + 18} = \sqrt{36} = 6$ см.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны между собой. Так как их сумма равна $90^\circ$, то каждый из них равен $90^\circ / 2 = 45^\circ$.

Проверим через тангенс: $\tan(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = 1$, что соответствует углу $\alpha = 45^\circ$. Аналогично для угла $\beta$.

Ответ: гипотенуза равна 6 см, углы треугольника равны $90^\circ$, $45^\circ$ и $45^\circ$.