Номер 2.69, страница 67 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.2. Синус, тангенс и котангенс острого угла. Раздел 2. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника - номер 2.69, страница 67.

Учебник rus.

2.69. Около окружности с диаметром 2 см описана равнобедренная трапеция. Определите среднюю линию трапеции, если углы при основании равны по $45^\circ$.

Учебник kz.

Решение.

Решение 2 rus.

Пусть дана равнобедренная трапеция, описанная около окружности. Обозначим ее основания как $a$ и $b$, а боковую сторону как $c$.

Основное свойство описанного четырехугольника заключается в том, что суммы длин его противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает: $a + b = c + c = 2c$.

Средняя линия трапеции, обозначим ее $m$, по определению равна полусумме оснований: $m = \frac{a + b}{2}$.

Подставив в формулу средней линии свойство описанной трапеции, получаем: $m = \frac{2c}{2} = c$. Таким образом, средняя линия описанной равнобедренной трапеции равна ее боковой стороне. Задача сводится к нахождению длины боковой стороны.

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности. По условию задачи, диаметр $d = 2$ см, следовательно, высота трапеции $h = 2$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $c$ (в качестве гипотенузы), высотой трапеции $h$ (в качестве катета) и частью большего основания. Угол при основании трапеции по условию равен $45^\circ$. Этот угол является одним из острых углов в нашем прямоугольном треугольнике.

Связь между гипотенузой $c$, противолежащим катетом $h$ и углом $\alpha$ в прямоугольном треугольнике выражается через синус: $\sin(\alpha) = \frac{h}{c}$.

Подставим известные нам значения: $h = 2$ см и $\alpha = 45^\circ$: $\sin(45^\circ) = \frac{2}{c}$.

Так как $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{c}$.

Выразим отсюда боковую сторону $c$: $c = \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Поскольку мы установили, что средняя линия $m$ равна боковой стороне $c$, то: $m = 2\sqrt{2}$ см.

Ответ: $2\sqrt{2}$ см.