Номер 2.65, страница 67 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.65. Радиус окружности равен 5 м. Из точки, отстоящей от центра на 13 м, проведены касательные к окружности. Найдите длины касательных и угол между ними (рис. 2.24).

Рис. 2.24

Пусть O — центр окружности, A — точка, из которой проведены касательные, B и C — точки касания. Согласно условию задачи, радиус окружности $r = OB = OC = 5$ м, а расстояние от точки A до центра $AO = 13$ м.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABO$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной. Следовательно, угол $\angle OBA = 90^{\circ}$. Это означает, что треугольник $\triangle ABO$ является прямоугольным, где $AO$ — гипотенуза ($AO=13$ м), $OB$ — катет ($OB=5$ м), а $AB$ — второй катет, длину которого нам нужно найти.
Применим теорему Пифагора: $OB^2 + AB^2 = AO^2$.
Выразим из формулы длину катета $AB$:
$AB^2 = AO^2 - OB^2$
Подставим известные значения:
$AB^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
$AB = \sqrt{144} = 12$ м.
Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой. Таким образом, длина второй касательной $AC$ также равна 12 м.
Ответ: Длины касательных равны 12 м.

Угол между касательными — это $\angle BAC$. Линия $AO$, соединяющая точку A с центром окружности O, является биссектрисой этого угла. Это следует из того, что прямоугольные треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle ACO$ равны по катету и гипотенузе ($OB = OC = r$, а $AO$ — общая гипотенуза).
Следовательно, $\angle BAC = 2 \cdot \angle OAB$.
Обозначим угол $\angle OAB$ как $\alpha$ и найдем его из прямоугольного треугольника $\triangle ABO$. Мы знаем длины всех его сторон: катет $OB = 5$ м, катет $AB = 12$ м и гипотенуза $AO = 13$ м.
Для нахождения угла можно использовать любую тригонометрическую функцию. Возьмем синус:
$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{OB}{AO} = \frac{5}{13}$
Отсюда угол $\alpha$ равен арксинусу этого значения:
$\alpha = \arcsin\left(\frac{5}{13}\right)$
Полный угол между касательными $\angle BAC$ равен $2\alpha$:
$\angle BAC = 2\arcsin\left(\frac{5}{13}\right)$
Для получения численного значения в градусах вычислим: $\sin(\alpha) \approx 0.3846$, что соответствует углу $\alpha \approx 22.62^{\circ}$.
Тогда искомый угол $\angle BAC \approx 2 \cdot 22.62^{\circ} \approx 45.24^{\circ}$.
Ответ: Угол между касательными равен $2 \arcsin\left(\frac{5}{13}\right)$, что приблизительно составляет $45.24^{\circ}$.