Номер 2.63, страница 66 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.63. Сравните углы $\alpha$ и $\beta$ по следующим данным:

1) $\sin \alpha = \frac{1}{3}, \sin \beta = \frac{1}{4};$

2) $\sin \alpha = \frac{2}{3}, \sin \beta = \frac{3}{4};$

3) $\cos \alpha = \frac{3}{7}, \cos \beta = \frac{2}{5};$

4) $\cos \alpha = 0,75, \cos \beta = 0,71;$

5) $\operatorname{tg} \alpha = 2,1, \operatorname{tg} \beta = 2,5;$

6) $\operatorname{tg} \alpha = \frac{8}{3}, \operatorname{tg} \beta = \frac{5}{2};$

7) $\operatorname{ctg} \alpha = 1,2, \operatorname{ctg} \beta = 1,1;$

8) $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{3}{2}, \operatorname{ctg} \beta = \frac{7}{3}.$

Для решения всех пунктов задачи будем исходить из того, что углы $\alpha$ и $\beta$ являются острыми, то есть принадлежат интервалу $(0^\circ; 90^\circ)$. В этом интервале важно помнить о монотонности тригонометрических функций:

• Функция $y = \sin x$ возрастает.
• Функция $y = \cos x$ убывает.
• Функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастает.
• Функция $y = \operatorname{ctg} x$ убывает.

1) Дано: $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ и $\sin \beta = \frac{1}{4}$.
На интервале $(0^\circ; 90^\circ)$ функция синус возрастает. Это значит, что большему значению синуса соответствует больший угол.
Сравним дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{4}$. Приведем их к общему знаменателю 12:
$\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$
$\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$
Поскольку $\frac{4}{12} > \frac{3}{12}$, то $\sin \alpha > \sin \beta$.
Следовательно, $\alpha > \beta$.

Ответ: $\alpha > \beta$.

2) Дано: $\sin \alpha = \frac{2}{3}$ и $\sin \beta = \frac{3}{4}$.
Функция синус возрастает для острых углов. Сравним значения дробей, приведя их к общему знаменателю 12:
$\sin \alpha = \frac{2}{3} = \frac{8}{12}$
$\sin \beta = \frac{3}{4} = \frac{9}{12}$
Так как $\frac{8}{12} < \frac{9}{12}$, то $\sin \alpha < \sin \beta$.
Следовательно, $\alpha < \beta$.

Ответ: $\alpha < \beta$.

3) Дано: $\cos \alpha = \frac{3}{7}$ и $\cos \beta = \frac{2}{5}$.
На интервале $(0^\circ; 90^\circ)$ функция косинус убывает. Это значит, что большему значению косинуса соответствует меньший угол.
Сравним дроби $\frac{3}{7}$ и $\frac{2}{5}$. Приведем их к общему знаменателю 35:
$\cos \alpha = \frac{3}{7} = \frac{15}{35}$
$\cos \beta = \frac{2}{5} = \frac{14}{35}$
Поскольку $\frac{15}{35} > \frac{14}{35}$, то $\cos \alpha > \cos \beta$.
Так как функция косинус убывающая, то $\alpha < \beta$.

Ответ: $\alpha < \beta$.

4) Дано: $\cos \alpha = 0,75$ и $\cos \beta = 0,71$.
Функция косинус убывает для острых углов, поэтому большему значению косинуса соответствует меньший угол.
Сравниваем значения: $0,75 > 0,71$.
Это означает, что $\cos \alpha > \cos \beta$.
Следовательно, $\alpha < \beta$.

Ответ: $\alpha < \beta$.

5) Дано: $\operatorname{tg} \alpha = 2,1$ и $\operatorname{tg} \beta = 2,5$.
На интервале $(0^\circ; 90^\circ)$ функция тангенс возрастает. Это значит, что большему значению тангенса соответствует больший угол.
Сравниваем значения: $2,1 < 2,5$.
Это означает, что $\operatorname{tg} \alpha < \operatorname{tg} \beta$.
Следовательно, $\alpha < \beta$.

Ответ: $\alpha < \beta$.

6) Дано: $\operatorname{tg} \alpha = \frac{8}{3}$ и $\operatorname{tg} \beta = \frac{5}{2}$.
Функция тангенс возрастает для острых углов. Сравним дроби, приведя их к общему знаменателю 6:
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{8}{3} = \frac{16}{6}$
$\operatorname{tg} \beta = \frac{5}{2} = \frac{15}{6}$
Так как $\frac{16}{6} > \frac{15}{6}$, то $\operatorname{tg} \alpha > \operatorname{tg} \beta$.
Следовательно, $\alpha > \beta$.

Ответ: $\alpha > \beta$.

7) Дано: $\operatorname{ctg} \alpha = 1,2$ и $\operatorname{ctg} \beta = 1,1$.
На интервале $(0^\circ; 90^\circ)$ функция котангенс убывает. Это значит, что большему значению котангенса соответствует меньший угол.
Сравниваем значения: $1,2 > 1,1$.
Это означает, что $\operatorname{ctg} \alpha > \operatorname{ctg} \beta$.
Так как функция котангенс убывающая, то $\alpha < \beta$.

Ответ: $\alpha < \beta$.

8) Дано: $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{3}{2}$ и $\operatorname{ctg} \beta = \frac{7}{3}$.
Функция котангенс убывает для острых углов. Сравним дроби, приведя их к общему знаменателю 6:
$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{3}{2} = \frac{9}{6}$
$\operatorname{ctg} \beta = \frac{7}{3} = \frac{14}{6}$
Так как $\frac{9}{6} < \frac{14}{6}$, то $\operatorname{ctg} \alpha < \operatorname{ctg} \beta$.
Поскольку функция котангенс убывающая, то из $\operatorname{ctg} \alpha < \operatorname{ctg} \beta$ следует, что $\alpha > \beta$.

Ответ: $\alpha > \beta$.