Номер 2.60, страница 66 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.60. Найдите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, и радиус окружности, описанной около него.

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной a

Пусть дан равносторонний треугольник со стороной $a$. В таком треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают в точке $O$, которая является точкой пересечения высот, медиан и биссектрис.

Сначала найдем высоту $h$ равностороннего треугольника. Высота, проведенная к одной из сторон, делит ее на два равных отрезка длиной $\frac{a}{2}$ и образует два прямоугольных треугольника. По теореме Пифагора для одного из таких треугольников:

$h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2$

$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$

$h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Точка $O$ (центр) делит высоту (которая также является медианой) в отношении 2:1, считая от вершины. Радиус вписанной окружности $r$ равен расстоянию от центра $O$ до стороны треугольника, что соответствует меньшему из отрезков, на которые делится высота.

$r = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Ответ: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Радиус окружности, описанной около него

Радиус описанной окружности $R$ равен расстоянию от центра $O$ до любой из вершин треугольника. Это соответствует большему из отрезков, на которые точка $O$ делит высоту $h$.

$R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Также можно проверить, что для равностороннего треугольника радиус описанной окружности вдвое больше радиуса вписанной окружности:

$R = 2r = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{2a\sqrt{3}}{6} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$