Номер 2.53, страница 66 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.53. Стороны прямоугольника равны 12,4 см и 26 см. Найдите угол между диагоналями (рис. 2.23).

Рис. 2.23

Пусть дан прямоугольник ABCD со сторонами $a = 12,4$ см и $b = 26$ см. Назначим стороны в соответствии с рисунком: пусть меньшая сторона $AB = 12,4$ см, а большая сторона $BC = 26$ см. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. При пересечении диагоналей образуются два смежных угла, $\angle AOB$ (обозначенный на рисунке как $\alpha$) и $\angle BOC$, сумма которых равна $180°$. Один из этих углов острый, а другой — тупой. Найдём оба этих угла.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Поскольку диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам ($AC = BD$, $AO = OC = AC/2$, $BO = OD = BD/2$), то отрезки $AO$ и $BO$ равны. Следовательно, треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным с основанием AB.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $∠OAB = ∠OBA$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому угол $\alpha = \angle AOB$ можно найти по формуле:$ \alpha = 180° - (∠OAB + ∠OBA) = 180° - 2 \cdot ∠OAB $

Для нахождения величины угла $∠OAB$ рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, в котором угол $∠ABC = 90°$. Угол $∠OAB$ совпадает с углом $∠CAB$. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$ \tan(∠CAB) = \frac{BC}{AB} $

Подставим известные значения длин сторон:$ \tan(∠CAB) = \frac{26}{12.4} \approx 2.09677 $

Теперь найдем сам угол $∠CAB$, используя функцию арктангенса:$ ∠CAB = \arctan(\frac{26}{12.4}) \approx 64.5° $

Поскольку $∠OAB = ∠CAB$, то $∠OAB \approx 64.5°$.Теперь мы можем вычислить искомый угол $\alpha$:$ \alpha = \angle AOB \approx 180° - 2 \cdot 64.5° = 180° - 129° = 51° $

Это острый угол между диагоналями. Найдем смежный с ним тупой угол $\angle BOC$:$ \angle BOC = 180° - \alpha \approx 180° - 51° = 129° $

Таким образом, углы, образованные при пересечении диагоналей, равны приблизительно $51°$ и $129°$.

Ответ: $51°$ и $129°$.