Номер 2.51, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.51. Найдите:

1) sin $ \alpha $, tg $ \alpha $ и ctg $ \alpha $, если cos $ \alpha = \frac{1}{2} $;

2) sin $ \alpha $, tg $ \alpha $ и ctg $ \alpha $, если cos $ \alpha = -\frac{2}{3} $;

3) cos $ \alpha $, tg $ \alpha $ и ctg $ \alpha $, если sin $ \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $;

4) cos $ \alpha $, tg $ \alpha $ и ctg $ \alpha $, если $ \frac{1}{4} $.

1) Для нахождения `$\sin \alpha$` воспользуемся основным тригонометрическим тождеством `$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$`. Поскольку `$\cos \alpha = \frac{1}{2}$`, имеем: `$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$`. Из этого следует, что `$\sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$`. Теперь найдем `$\text{tg } \alpha$` и `$\text{ctg } \alpha$`: `$\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\pm\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \pm\sqrt{3}$`. `$\text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha} = \frac{1}{\pm\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$`. Так как не указан квадрант, в котором находится угол `$\alpha$`, мы получаем два возможных набора решений: один со знаками `+`, другой со знаками `-`. Ответ: `$\sin \alpha = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}, \text{ tg } \alpha = \pm\sqrt{3}, \text{ ctg } \alpha = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$`.

2) Аналогично предыдущему пункту, используем тождество `$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$`. Дано, что `$\cos \alpha = -\frac{2}{3}$`. `$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$`. Следовательно, `$\sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{5}{9}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}$`. Найдем тангенс и котангенс: `$\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\pm\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} = \mp\frac{\sqrt{5}}{2}$`. Обратите внимание, что знак тангенса противоположен знаку синуса, так как косинус отрицателен. `$\text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha} = \frac{1}{\mp\frac{\sqrt{5}}{2}} = \mp\frac{2}{\sqrt{5}} = \mp\frac{2\sqrt{5}}{5}$`. Ответ: `$\sin \alpha = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}, \text{ tg } \alpha = \mp\frac{\sqrt{5}}{2}, \text{ ctg } \alpha = \mp\frac{2\sqrt{5}}{5}$`.

3) В этом случае известно значение синуса `$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$`. Найдем `$\cos \alpha$` из основного тождества `$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$`. `$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$`. Отсюда `$\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$`. Теперь вычислим тангенс и котангенс: `$\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\pm\frac{1}{2}} = \pm\sqrt{3}$`. `$\text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha} = \frac{1}{\pm\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$`. Знак косинуса, тангенса и котангенса зависит от квадранта. Ответ: `$\cos \alpha = \pm\frac{1}{2}, \text{ tg } \alpha = \pm\sqrt{3}, \text{ ctg } \alpha = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$`.

4) Судя по расположению текста, в этом пункте дано значение котангенса. Будем считать, что `$\text{ctg } \alpha = \frac{1}{4}$`. Требуется найти `$\cos \alpha, \text{tg } \alpha, \text{ctg } \alpha$`. Значение `$\text{ctg } \alpha$` уже дано. Найдем `$\text{tg } \alpha$`: `$\text{tg } \alpha = \frac{1}{\text{ctg } \alpha} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$`. Для нахождения `$\cos \alpha$` используем тождество `$1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$`: `$\frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + 4^2 = 1 + 16 = 17$`. `$\cos^2 \alpha = \frac{1}{17}$`, следовательно `$\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{17}} = \pm\frac{1}{\sqrt{17}} = \pm\frac{\sqrt{17}}{17}$`. Ответ: `$\cos \alpha = \pm\frac{\sqrt{17}}{17}, \text{ tg } \alpha = 4, \text{ ctg } \alpha = \frac{1}{4}$`.