Номер 2.51, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.51. Найдите:

1) sin $ \alpha $, tg $ \alpha $ и ctg $ \alpha $, если cos $ \alpha = \frac{1}{2} $;

2) sin $ \alpha $, tg $ \alpha $ и ctg $ \alpha $, если cos $ \alpha = -\frac{2}{3} $;

3) cos $ \alpha $, tg $ \alpha $ и ctg $ \alpha $, если sin $ \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $;

4) cos $ \alpha $, tg $ \alpha $ и ctg $ \alpha $, если $ \frac{1}{4} $.

1) Для нахождения $\sin \alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Поскольку $\cos \alpha = \frac{1}{2}$, имеем: $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. Из этого следует, что $\sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$. Теперь найдем $\text{tg } \alpha$ и $\text{ctg } \alpha$: $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\pm\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \pm\sqrt{3}$. $\text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha} = \frac{1}{\pm\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$. Так как не указан квадрант, в котором находится угол $\alpha$, мы получаем два возможных набора решений: один со знаками $+$, другой со знаками $-$. Ответ: $\sin \alpha = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}, \text{ tg } \alpha = \pm\sqrt{3}, \text{ ctg } \alpha = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.

2) Аналогично предыдущему пункту, используем тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Дано, что $\cos \alpha = -\frac{2}{3}$. $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$. Следовательно, $\sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{5}{9}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}$. Найдем тангенс и котангенс: $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\pm\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} = \mp\frac{\sqrt{5}}{2}$. Обратите внимание, что знак тангенса противоположен знаку синуса, так как косинус отрицателен. $\text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha} = \frac{1}{\mp\frac{\sqrt{5}}{2}} = \mp\frac{2}{\sqrt{5}} = \mp\frac{2\sqrt{5}}{5}$. Ответ: $\sin \alpha = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}, \text{ tg } \alpha = \mp\frac{\sqrt{5}}{2}, \text{ ctg } \alpha = \mp\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

3) В этом случае известно значение синуса $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Найдем $\cos \alpha$ из основного тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$. Отсюда $\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$. Теперь вычислим тангенс и котангенс: $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\pm\frac{1}{2}} = \pm\sqrt{3}$. $\text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha} = \frac{1}{\pm\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$. Знак косинуса, тангенса и котангенса зависит от квадранта. Ответ: $\cos \alpha = \pm\frac{1}{2}, \text{ tg } \alpha = \pm\sqrt{3}, \text{ ctg } \alpha = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.

4) Судя по расположению текста, в этом пункте дано значение котангенса. Будем считать, что $\text{ctg } \alpha = \frac{1}{4}$. Требуется найти $\cos \alpha, \text{tg } \alpha, \text{ctg } \alpha$. Значение $\text{ctg } \alpha$ уже дано. Найдем $\text{tg } \alpha$: $\text{tg } \alpha = \frac{1}{\text{ctg } \alpha} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$. Для нахождения $\cos \alpha$ используем тождество $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$: $\frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + 4^2 = 1 + 16 = 17$. $\cos^2 \alpha = \frac{1}{17}$, следовательно $\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{17}} = \pm\frac{1}{\sqrt{17}} = \pm\frac{\sqrt{17}}{17}$. Ответ: $\cos \alpha = \pm\frac{\sqrt{17}}{17}, \text{ tg } \alpha = 4, \text{ ctg } \alpha = \frac{1}{4}$.