Номер 2.48, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

а) a = 3, b = 4;

1. Найдём гипотенузу $c$ по теореме Пифагора $c^2 = a^2 + b^2$:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

2. Найдём угол $\alpha$, используя тангенс: $\tan(\alpha) = \frac{a}{b}$.

$\tan(\alpha) = \frac{3}{4} = 0.75$.

$\alpha = \arctan(0.75) \approx 36.87^\circ$. Для перевода в градусы и минуты умножаем дробную часть на 60: $0.87 \cdot 60' \approx 52'$. Таким образом, $\alpha \approx 36^\circ52'$.

3. Найдём угол $\beta$ из свойства суммы острых углов прямоугольного треугольника: $\beta = 90^\circ - \alpha$.

$\beta \approx 90^\circ - 36^\circ52' = 89^\circ60' - 36^\circ52' = 53^\circ08'$.

Ответ: $c = 5, \alpha \approx 36^\circ52', \beta \approx 53^\circ08'$.

б) a = 9, b = 10;

1. Найдём гипотенузу $c = \sqrt{a^2 + b^2}$:

$c = \sqrt{9^2 + 10^2} = \sqrt{81 + 100} = \sqrt{181} \approx 13.45$.

2. Найдём углы $\alpha$ и $\beta$ через тангенсы:

$\tan(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{9}{10} = 0.9$. Отсюда $\alpha = \arctan(0.9) \approx 41.987^\circ \approx 41^\circ59'$.

$\tan(\beta) = \frac{b}{a} = \frac{10}{9} \approx 1.111$. Отсюда $\beta = \arctan(1.111) \approx 48.013^\circ \approx 48^\circ01'$.

Проверка: $\alpha + \beta \approx 41^\circ59' + 48^\circ01' = 90^\circ$.

Ответ: $c \approx 13.45, \alpha \approx 41^\circ59', \beta \approx 48^\circ01'$.

в) a = 20, b = 21;

1. Найдём гипотенузу $c = \sqrt{a^2 + b^2}$:

$c = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$.

2. Найдём угол $\alpha$: $\tan(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{20}{21} \approx 0.9524$.

$\alpha = \arctan(0.9524) \approx 43.603^\circ \approx 43^\circ36'$.

3. Найдём угол $\beta$: $\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 43^\circ36' = 46^\circ24'$.

Ответ: $c = 29, \alpha \approx 43^\circ36', \beta \approx 46^\circ24'$.

г) a = 11, b = 60;

1. Найдём гипотенузу $c = \sqrt{a^2 + b^2}$:

$c = \sqrt{11^2 + 60^2} = \sqrt{121 + 3600} = \sqrt{3721} = 61$.

2. Найдём угол $\alpha$: $\tan(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{11}{60} \approx 0.1833$.

$\alpha = \arctan(0.1833) \approx 10.39^\circ \approx 10^\circ23'$.

3. Найдём угол $\beta$: $\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 10^\circ23' = 79^\circ37'$.

Ответ: $c = 61, \alpha \approx 10^\circ23', \beta \approx 79^\circ37'$.

д) a = 6, b = 8;

1. Найдём гипотенузу $c = \sqrt{a^2 + b^2}$:

$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

2. Найдём угол $\alpha$: $\tan(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{6}{8} = 0.75$.

$\alpha = \arctan(0.75) \approx 36.87^\circ \approx 36^\circ52'$.

3. Найдём угол $\beta$: $\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 36^\circ52' = 53^\circ08'$.

Ответ: $c = 10, \alpha \approx 36^\circ52', \beta \approx 53^\circ08'$.

е) a = 5, b = 12.

1. Найдём гипотенузу $c = \sqrt{a^2 + b^2}$:

$c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

2. Найдём угол $\alpha$: $\tan(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{5}{12} \approx 0.4167$.

$\alpha = \arctan(0.4167) \approx 22.62^\circ \approx 22^\circ37'$.

3. Найдём угол $\beta$: $\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 22^\circ37' = 67^\circ23'$.

Ответ: $c = 13, \alpha \approx 22^\circ37', \beta \approx 67^\circ23'$.

а) c = 13, a = 5;

1. Найдём второй катет $b$ по теореме Пифагора $b = \sqrt{c^2 - a^2}$:

$b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.

2. Найдём угол $\alpha$, противолежащий катету $a$, используя синус: $\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$.

$\sin(\alpha) = \frac{5}{13} \approx 0.3846$.

$\alpha = \arcsin(0.3846) \approx 22.62^\circ \approx 22^\circ37'$.

3. Найдём угол $\beta$: $\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 22^\circ37' = 67^\circ23'$.

Ответ: $b = 12, \alpha \approx 22^\circ37', \beta \approx 67^\circ23'$.

б) c = 25, a = 7;

1. Найдём катет $b = \sqrt{c^2 - a^2}$:

$b = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$.

2. Найдём угол $\alpha$: $\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{7}{25} = 0.28$.

$\alpha = \arcsin(0.28) \approx 16.26^\circ \approx 16^\circ16'$.

3. Найдём угол $\beta$: $\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 16^\circ16' = 73^\circ44'$.

Ответ: $b = 24, \alpha \approx 16^\circ16', \beta \approx 73^\circ44'$.

в) c = 17, a = 8;

1. Найдём катет $b = \sqrt{c^2 - a^2}$:

$b = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$.

2. Найдём угол $\alpha$: $\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{8}{17} \approx 0.4706$.

$\alpha = \arcsin(0.4706) \approx 28.07^\circ \approx 28^\circ04'$.

3. Найдём угол $\beta$: $\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 28^\circ04' = 61^\circ56'$.

Ответ: $b = 15, \alpha \approx 28^\circ04', \beta \approx 61^\circ56'$.

г) c = 85, a = 84.

1. Найдём катет $b = \sqrt{c^2 - a^2}$:

$b = \sqrt{85^2 - 84^2} = \sqrt{(85-84)(85+84)} = \sqrt{1 \cdot 169} = 13$.

2. Найдём угол $\alpha$: $\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{84}{85} \approx 0.9882$.

$\alpha = \arcsin(0.9882) \approx 81.20^\circ \approx 81^\circ12'$.

3. Найдём угол $\beta$: $\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 81^\circ12' = 8^\circ48'$.

Ответ: $b = 13, \alpha \approx 81^\circ12', \beta \approx 8^\circ48'$.

а) c = 2, α = 20°;

1. Найдём второй острый угол $\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ$.

2. Найдём катет $a$, противолежащий углу $\alpha$, по формуле $a = c \cdot \sin(\alpha)$:

$a = 2 \cdot \sin(20^\circ) \approx 2 \cdot 0.3420 \approx 0.68$.

3. Найдём катет $b$, прилежащий к углу $\alpha$, по формуле $b = c \cdot \cos(\alpha)$:

$b = 2 \cdot \cos(20^\circ) \approx 2 \cdot 0.9397 \approx 1.88$.

Ответ: $\beta = 70^\circ, a \approx 0.68, b \approx 1.88$.

б) c = 25, α = 50°20';

1. Найдём угол $\beta$: $\beta = 90^\circ - 50^\circ20' = 89^\circ60' - 50^\circ20' = 39^\circ40'$.

2. Найдём катет $a = c \cdot \sin(\alpha)$:

$a = 25 \cdot \sin(50^\circ20') \approx 25 \cdot 0.7698 \approx 19.25$.

3. Найдём катет $b = c \cdot \cos(\alpha)$:

$b = 25 \cdot \cos(50^\circ20') \approx 25 \cdot 0.6383 \approx 15.96$.

Ответ: $\beta = 39^\circ40', a \approx 19.25, b \approx 15.96$.

в) c = 8, α = 70°36';

1. Найдём угол $\beta$: $\beta = 90^\circ - 70^\circ36' = 19^\circ24'$.

2. Найдём катет $a = c \cdot \sin(\alpha)$:

$a = 8 \cdot \sin(70^\circ36') \approx 8 \cdot 0.9432 \approx 7.55$.

3. Найдём катет $b = c \cdot \cos(\alpha)$:

$b = 8 \cdot \cos(70^\circ36') \approx 8 \cdot 0.3322 \approx 2.66$.

Ответ: $\beta = 19^\circ24', a \approx 7.55, b \approx 2.66$.

г) c = 16, α = 76°21'.

1. Найдём угол $\beta$: $\beta = 90^\circ - 76^\circ21' = 13^\circ39'$.

2. Найдём катет $a = c \cdot \sin(\alpha)$:

$a = 16 \cdot \sin(76^\circ21') \approx 16 \cdot 0.9718 \approx 15.55$.

3. Найдём катет $b = c \cdot \cos(\alpha)$:

$b = 16 \cdot \cos(76^\circ21') \approx 16 \cdot 0.2360 \approx 3.78$.

Ответ: $\beta = 13^\circ39', a \approx 15.55, b \approx 3.78$.

а) a = 3, α = 30°27';

1. Найдём второй острый угол $\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 30^\circ27' = 59^\circ33'$.

2. Найдём гипотенузу $c$ из соотношения $\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$, откуда $c = \frac{a}{\sin(\alpha)}$:

$c = \frac{3}{\sin(30^\circ27')} \approx \frac{3}{0.5068} \approx 5.92$.

3. Найдём катет $b$ из соотношения $\tan(\alpha) = \frac{a}{b}$, откуда $b = \frac{a}{\tan(\alpha)}$:

$b = \frac{3}{\tan(30^\circ27')} \approx \frac{3}{0.5878} \approx 5.10$.

Ответ: $\beta = 59^\circ33', c \approx 5.92, b \approx 5.10$.

б) a = 5, α = 40°48';

1. Найдём угол $\beta$: $\beta = 90^\circ - 40^\circ48' = 49^\circ12'$.

2. Найдём гипотенузу $c = \frac{a}{\sin(\alpha)}$:

$c = \frac{5}{\sin(40^\circ48')} \approx \frac{5}{0.6534} \approx 7.65$.

3. Найдём катет $b = \frac{a}{\tan(\alpha)}$:

$b = \frac{5}{\tan(40^\circ48')} \approx \frac{5}{0.8632} \approx 5.79$.

Ответ: $\beta = 49^\circ12', c \approx 7.65, b \approx 5.79$.

в) a = 7, α = 60°35';

1. Найдём угол $\beta$: $\beta = 90^\circ - 60^\circ35' = 29^\circ25'$.

2. Найдём гипотенузу $c = \frac{a}{\sin(\alpha)}$:

$c = \frac{7}{\sin(60^\circ35')} \approx \frac{7}{0.8711} \approx 8.04$.

3. Найдём катет $b$. Можно использовать теорему Пифагора $b = \sqrt{c^2 - a^2}$:

$b \approx \sqrt{8.04^2 - 7^2} = \sqrt{64.6416 - 49} = \sqrt{15.6416} \approx 3.95$.

Ответ: $\beta = 29^\circ25', c \approx 8.04, b \approx 3.95$.

г) a = 9, α = 68°.

1. Найдём угол $\beta$: $\beta = 90^\circ - 68^\circ = 22^\circ$.

2. Найдём гипотенузу $c = \frac{a}{\sin(\alpha)}$:

$c = \frac{9}{\sin(68^\circ)} \approx \frac{9}{0.9272} \approx 9.71$.

3. Найдём катет $b$ через синус угла $\beta$: $b = c \cdot \sin(\beta)$

$b \approx 9.71 \cdot \sin(22^\circ) \approx 9.71 \cdot 0.3746 \approx 3.64$.

Ответ: $\beta = 22^\circ, c \approx 9.71, b \approx 3.64$.