Номер 2.42, страница 64 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.42. Постройте угол $\alpha$, если:

1) $tg \alpha = \frac{1}{2}$;

2) $tg \alpha = \frac{3}{4}$;

3) $cos \alpha = 0,2$;

4) $cos \alpha = \frac{2}{3}$;

5) $sin \alpha = \frac{1}{2}$;

6) $sin \alpha = 0,4$.

1) tg α = 1/2

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Чтобы построить угол α, для которого $\text{tg } \alpha = \frac{1}{2}$, мы построим прямоугольный треугольник, у которого катеты относятся как 1:2.

1. Начертим прямую и выберем на ней точку C.
2. На этой прямой от точки C отложим отрезок AC, который будет прилежащим катетом. Выберем его длину равной 2 условным единицам (например, 4 см).
3. В точке C восстановим перпендикуляр к прямой AC.
4. На этом перпендикуляре отложим отрезок CB, равный 1 условной единице (в том же масштабе, т.е. 2 см). Это будет противолежащий катет.
5. Соединим точки A и B отрезком.

В получившемся прямоугольном треугольнике ABC (с прямым углом C), тангенс угла CAB равен отношению противолежащего катета BC к прилежащему AC: $\text{tg}(\angle CAB) = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{2}$.

Ответ: Угол CAB является искомым углом α.

2) tg α = 3/4

Аналогично предыдущему пункту, используем определение тангенса. Необходимо построить прямоугольный треугольник, у которого отношение противолежащего катета к прилежащему равно $\frac{3}{4}$.

1. Начертим прямую и выберем на ней точку C.
2. На прямой от точки C отложим отрезок AC (прилежащий катет) длиной 4 условные единицы.
3. В точке C восстановим перпендикуляр к прямой AC.
4. На перпендикуляре отложим отрезок CB (противолежащий катет) длиной 3 условные единицы.
5. Соединим точки A и B.

В прямоугольном треугольнике ABC угол CAB будет искомым углом α, так как $\text{tg}(\angle CAB) = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{4}$.

Ответ: Угол CAB является искомым углом α.

3) cos α = 0,2

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Сначала представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Таким образом, нужно построить угол α, для которого $\cos \alpha = \frac{1}{5}$.

1. Начертим прямую и отложим на ней отрезок AC (прилежащий катет) длиной 1 условная единица.
2. В точке C восстановим перпендикуляр к прямой AC.
3. Возьмем циркуль и установим его раствор равным 5 условным единицам (длина гипотенузы).
4. Установим острие циркуля в точку A и проведем дугу так, чтобы она пересекла перпендикуляр, построенный из точки C. Точку пересечения обозначим B.
5. Соединим точки A и B.

В полученном прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB равна 5 единицам, а прилежащий катет AC равен 1 единице. Косинус угла CAB равен $\cos(\angle CAB) = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{5} = 0,2$.

Ответ: Угол CAB является искомым углом α.

4) cos α = 2/3

Используем определение косинуса: отношение прилежащего катета к гипотенузе. Мы построим прямоугольный треугольник с прилежащим катетом 2 и гипотенузой 3.

1. Начертим прямую и отложим на ней отрезок AC длиной 2 условные единицы.
2. В точке C восстановим перпендикуляр к AC.
3. С помощью циркуля с раствором в 3 условные единицы, установив острие в точку A, проведем дугу, пересекающую перпендикуляр в точке B.
4. Соединим точки A и B.

В прямоугольном треугольнике ABC угол CAB будет искомым углом α, поскольку $\cos(\angle CAB) = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{3}$.

Ответ: Угол CAB является искомым углом α.

5) sin α = 1/2

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Необходимо построить прямоугольный треугольник, у которого отношение противолежащего катета к гипотенузе равно $\frac{1}{2}$.

1. Начертим прямую `l`.
2. Выберем на ней произвольную точку C и восстановим к прямой `l` перпендикуляр `m`.
3. На перпендикуляре `m` отложим отрезок CB (противолежащий катет) длиной 1 условная единица.
4. Возьмем циркуль, установим его раствор равным 2 условным единицам (длина гипотенузы).
5. Установив острие циркуля в точку B, проведем дугу, пересекающую прямую `l` в точке A.
6. Соединим точки A и B.

В полученном прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, синус угла CAB равен $\sin(\angle CAB) = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}$.

Ответ: Угол CAB является искомым углом α.

6) sin α = 0,4

Используем определение синуса. Представим $0,4$ в виде дроби: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. Построим прямоугольный треугольник, в котором отношение противолежащего катета к гипотенузе равно $\frac{2}{5}$.

1. Начертим прямую `l` и выберем на ней точку C.
2. В точке C восстановим перпендикуляр `m` к прямой `l`.
3. На перпендикуляре `m` отложим от точки C отрезок CB длиной 2 условные единицы.
4. С помощью циркуля с раствором в 5 условных единиц, установив острие в точку B, проведем дугу до пересечения с прямой `l`. Точку пересечения обозначим A.
5. Соединим точки A и B.

В прямоугольном треугольнике ABC угол CAB будет искомым углом α, так как $\sin(\angle CAB) = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{5} = 0,4$.

Ответ: Угол CAB является искомым углом α.