Номер 2.40, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.40. В прямоугольном треугольнике один из углов равен среднему арифметическому двух других углов. Найдите катеты этого треугольника, если его гипотенуза равна $c$.

Пусть углы прямоугольного треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $90^\circ$. Известно, что сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, следовательно, для прямоугольного треугольника сумма двух острых углов составляет $\alpha + \beta = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Согласно условию, один из углов равен среднему арифметическому двух других. Рассмотрим три возможных варианта:

1. Прямой угол ($90^\circ$) является средним арифметическим двух острых углов ($\alpha$ и $\beta$):
$90^\circ = \frac{\alpha + \beta}{2}$
Отсюда $\alpha + \beta = 180^\circ$. Это противоречит свойству острых углов прямоугольного треугольника, сумма которых равна $90^\circ$. Значит, этот вариант невозможен.

2. Один из острых углов, например $\alpha$, является средним арифметическим прямого угла и другого острого угла $\beta$:
$\alpha = \frac{\beta + 90^\circ}{2}$
Так как $\beta = 90^\circ - \alpha$, подставим это выражение в уравнение:
$\alpha = \frac{(90^\circ - \alpha) + 90^\circ}{2}$
$\alpha = \frac{180^\circ - \alpha}{2}$
$2\alpha = 180^\circ - \alpha$
$3\alpha = 180^\circ$
$\alpha = 60^\circ$
Тогда второй острый угол $\beta = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
(Случай, когда угол $\beta$ является средним арифметическим, симметричен и даст тот же результат: углы $30^\circ$ и $60^\circ$).

Итак, мы имеем дело с прямоугольным треугольником, острые углы которого равны $30^\circ$ и $60^\circ$. Гипотенуза этого треугольника равна $c$. Нам нужно найти длины катетов. Обозначим катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, как $a$, а катет, лежащий напротив угла в $60^\circ$, как $b$.

Воспользуемся определениями синуса в прямоугольном треугольнике:
- Катет $a$, противолежащий углу $30^\circ$:
$a = c \cdot \sin(30^\circ) = c \cdot \frac{1}{2} = \frac{c}{2}$
- Катет $b$, противолежащий углу $60^\circ$:
$b = c \cdot \sin(60^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{c\sqrt{3}}{2}$

Ответ: Катеты равны $\frac{c}{2}$ и $\frac{c\sqrt{3}}{2}$.