Номер 2.41, страница 64 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.41. В треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$. Найдите синус, косинус и тангенс углов $A$ и $B$, если:

1) $BC = 8, AB = 17$;

2) $BC = 21, AC = 20$;

3) $BC = 1, AC = 2$;

4) $AC = 24, AB = 25$.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C ($\angle C = 90^\circ$), стороны AC и BC являются катетами, а сторона AB — гипотенузой. Тригонометрические функции острых углов определяются следующими соотношениями:

• Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
• Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
• Тангенс угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Для угла A: катет BC является противолежащим, а катет AC — прилежащим.
$\sin A = \frac{BC}{AB}$, $\cos A = \frac{AC}{AB}$, $\tan A = \frac{BC}{AC}$.

Для угла B: катет AC является противолежащим, а катет BC — прилежащим.
$\sin B = \frac{AC}{AB}$, $\cos B = \frac{BC}{AB}$, $\tan B = \frac{AC}{BC}$.

Для нахождения неизвестной стороны треугольника используем теорему Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$.

1) Дано: $BC = 8$, $AB = 17$.
Найдем катет AC по теореме Пифагора:
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$.
Теперь найдем тригонометрические функции для углов A и B.
Для угла A:
$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}$
$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17}$
$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15}$
Для угла B:
$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17}$
$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}$
$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{8}$
Ответ: $\sin A = \frac{8}{17}$, $\cos A = \frac{15}{17}$, $\tan A = \frac{8}{15}$; $\sin B = \frac{15}{17}$, $\cos B = \frac{8}{17}$, $\tan B = \frac{15}{8}$.

2) Дано: $BC = 21$, $AC = 20$.
Найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$.
Теперь найдем тригонометрические функции для углов A и B.
Для угла A:
$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29}$
$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29}$
$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{21}{20}$
Для угла B:
$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29}$
$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29}$
$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{20}{21}$
Ответ: $\sin A = \frac{21}{29}$, $\cos A = \frac{20}{29}$, $\tan A = \frac{21}{20}$; $\sin B = \frac{20}{29}$, $\cos B = \frac{21}{29}$, $\tan B = \frac{20}{21}$.

3) Дано: $BC = 1$, $AC = 2$.
Найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.
Теперь найдем тригонометрические функции для углов A и B.
Для угла A:
$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$
$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{2}$
Для угла B:
$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$
$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{2}{1} = 2$
Ответ: $\sin A = \frac{\sqrt{5}}{5}$, $\cos A = \frac{2\sqrt{5}}{5}$, $\tan A = \frac{1}{2}$; $\sin B = \frac{2\sqrt{5}}{5}$, $\cos B = \frac{\sqrt{5}}{5}$, $\tan B = 2$.

4) Дано: $AC = 24$, $AB = 25$.
Найдем катет BC по теореме Пифагора:
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{625 - 576} = \sqrt{49} = 7$.
Теперь найдем тригонометрические функции для углов A и B.
Для угла A:
$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25}$
$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25}$
$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{24}$
Для угла B:
$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25}$
$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25}$
$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{24}{7}$
Ответ: $\sin A = \frac{7}{25}$, $\cos A = \frac{24}{25}$, $\tan A = \frac{7}{24}$; $\sin B = \frac{24}{25}$, $\cos B = \frac{7}{25}$, $\tan B = \frac{24}{7}$.