Номер 2.35, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.35. Пусть $a, b, c$ – стороны треугольника, для которых выполняется равенство $a^2 + b^2 = c^2$. Докажите, что этот треугольник является прямоугольным.

Для доказательства воспользуемся теоремой косинусов.

Рассмотрим треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$. Пусть $\gamma$ — это угол, лежащий напротив стороны $c$. Согласно теореме косинусов, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Для стороны $c$ это записывается так:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

По условию задачи нам дано, что для сторон этого треугольника выполняется равенство:
$a^2 + b^2 = c^2$

Теперь мы можем приравнять правые части этих двух выражений, так как левые части равны ($c^2$):
$a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) = a^2 + b^2$

Вычтем из обеих частей равенства выражение $a^2 + b^2$:
$-2ab \cos(\gamma) = 0$

Так как $a$ и $b$ являются длинами сторон треугольника, они не могут быть равны нулю ($a > 0$ и $b > 0$). Следовательно, произведение $-2ab$ также не равно нулю. Равенство будет верным только в том случае, если множитель $\cos(\gamma)$ равен нулю:
$\cos(\gamma) = 0$

Поскольку $\gamma$ — это угол в треугольнике, его значение должно лежать в интервале $(0^\circ; 180^\circ)$. Единственный угол в этом диапазоне, косинус которого равен нулю, — это $90^\circ$.
Следовательно, $\gamma = 90^\circ$.

Это означает, что угол, противолежащий стороне $c$, является прямым. Таким образом, треугольник является прямоугольным, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если для сторон треугольника $a, b, c$ выполняется равенство $a^2 + b^2 = c^2$, то по теореме, обратной теореме Пифагора (которая доказывается через теорему косинусов, как показано выше), этот треугольник является прямоугольным с гипотенузой $c$ и катетами $a$ и $b$.