Номер 2.28, страница 59 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.28. Сформулируйте теорему, обратную теореме Пифагора.

Для того чтобы сформулировать теорему, обратную теореме Пифагора, сначала следует вспомнить прямую теорему Пифагора. Она гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Если $a$ и $b$ — длины катетов, а $c$ — длина гипотенузы, то выполняется равенство: $c^2 = a^2 + b^2$.

Теорема, обратная теореме Пифагора, формулируется путем замены местами условия и заключения прямой теоремы.
Формулировка теоремы, обратной теореме Пифагора:
Если в треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон, то этот треугольник является прямоугольным.
При этом прямой угол — это угол, лежащий напротив той стороны, квадрат которой равен сумме квадратов двух других (то есть, наибольшей стороны).

Доказательство:
Пусть нам дан треугольник $\triangle ABC$ со сторонами $a$, $b$ и $c$, для которого выполняется равенство $c^2 = a^2 + b^2$. Необходимо доказать, что угол $\angle C$, лежащий напротив стороны $c$, является прямым ($90^\circ$).
Для доказательства рассмотрим второй треугольник $\triangle A'B'C'$, у которого угол $\angle C'$ — прямой, а катеты $A'C'$ и $B'C'$ равны сторонам $b$ и $a$ соответственно: $A'C' = b$, $B'C' = a$.
Для этого построенного прямоугольного треугольника $\triangle A'B'C'$ применим прямую теорему Пифагора, чтобы найти квадрат его гипотенузы $c'$:
$(c')^2 = (A'C')^2 + (B'C')^2 = b^2 + a^2$.
По условию задачи для исходного треугольника $\triangle ABC$ нам дано, что $c^2 = a^2 + b^2$.
Сравнивая два полученных выражения, видим, что $(c')^2 = c^2$. Так как длины сторон являются положительными величинами, то отсюда следует, что $c' = c$.
Таким образом, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$ имеют соответственно равные стороны: $a=a$, $b=b$ и $c=c'$.
Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle A'B'C'$ ($\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$).
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, угол $\angle C$ треугольника $\triangle ABC$ равен углу $\angle C'$ треугольника $\triangle A'B'C'$.
Поскольку по построению угол $\angle C'$ является прямым ($\angle C' = 90^\circ$), то и угол $\angle C$ также равен $90^\circ$.
Это доказывает, что треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным.

Ответ: Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон (например, $c^2 = a^2 + b^2$), то такой треугольник является прямоугольным, и прямой угол в нем находится напротив стороны $c$.