Номер 2.34, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.34. Как построить отрезок $x = \sqrt{ab}$, если даны отрезки a и b?

Для построения отрезка $x = \sqrt{ab}$, который представляет собой среднее геометрическое двух данных отрезков с длинами $a$ и $b$, можно воспользоваться свойством высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе.

Построение выполняется с помощью циркуля и линейки по следующему алгоритму:
1. Проведите прямую линию и выберите на ней произвольную точку $A$.
2. От точки $A$ отложите отрезок $AC$, длина которого равна $a$.
3. От точки $C$ на той же прямой и в том же направлении отложите отрезок $CB$, длина которого равна $b$. В результате получится отрезок $AB$ с длиной, равной $a+b$.
4. Найдите середину отрезка $AB$. Обозначим эту точку $O$. Это делается путем построения серединного перпендикуляра к $AB$.
5. С центром в точке $O$ и радиусом $R = OA = OB = \frac{a+b}{2}$ постройте полуокружность, для которой $AB$ является диаметром.
6. В точке $C$ проведите перпендикуляр к прямой $AB$. Точку пересечения этого перпендикуляра с полуокружностью обозначьте $D$.
7. Отрезок $CD$ является искомым отрезком. Его длина $x$ равна $\sqrt{ab}$.

Доказательство:Соединим точки $A$ и $D$, а также $B$ и $D$. Рассмотрим полученный треугольник $\triangle ADB$. Угол $\angle ADB$ является вписанным углом, который опирается на диаметр $AB$ окружности. Следовательно, $\angle ADB = 90^\circ$, и $\triangle ADB$ — прямоугольный. Отрезок $CD$ является высотой этого треугольника, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу. По теореме о высоте в прямоугольном треугольнике, квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению длин отрезков, на которые высота делит гипотенузу. То есть:
$CD^2 = AC \cdot CB$
Так как по построению $AC = a$ и $CB = b$, то мы получаем:
$CD^2 = a \cdot b$
Из этого следует, что длина отрезка $CD$ равна:
$CD = \sqrt{ab}$
Таким образом, построенный отрезок $CD$ и есть искомый отрезок $x$.

Ответ: Чтобы построить отрезок $x = \sqrt{ab}$, необходимо на прямой последовательно отложить отрезки длиной $a$ и $b$. Затем на получившемся отрезке длиной $a+b$ как на диаметре построить полуокружность. Из точки соединения отрезков $a$ и $b$ восстановить перпендикуляр до пересечения с полуокружностью. Длина этого перпендикуляра будет равна $\sqrt{ab}$.