Вопросы, страница 64 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Докажите самостоятельно

Выражения $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, $ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $, $ \text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $ называют-ся основными тригонометрическими тождествами. К их числу так-же относятся следующие тождества: $ \text{tg}x \cdot \text{ctg}\alpha = 1 $, $ 1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} $, $ 1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} $.

1. Дайте определения синуса, тангенса и котангенса острого угла. Вырази-те их через катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника.

2. Назовите значения тригонометрических функций для углов, равных:
1) $ 30^\circ $; 2) $ 45^\circ $; 3) $ 60^\circ $.

3. Какая зависимость существует между тригонометрическими функциями?

1. Дайте определения синуса, тангенса и котангенса острого угла. Выразите их через катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, где $\alpha$ — один из его острых углов. Стороны треугольника, прилежащие к прямому углу, называются катетами. Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой. Катет, лежащий напротив угла $\alpha$, называется противолежащим катетом, а катет, являющийся одной из сторон угла $\alpha$, — прилежащим катетом.

Синус острого угла ($\sin \alpha$) — это отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы.
$\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

Тангенс острого угла ($\tan \alpha$) — это отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.
$\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$

Котангенс острого угла ($\cot \alpha$) — это отношение длины прилежащего катета к длине противолежащего катета.
$\cot \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}}$

Ответ: Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе ($\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$). Тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету ($\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$). Котангенс — это отношение прилежащего катета к противолежащему катету ($\cot \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}}$).

2. Назовите значения тригонометрических функций для углов, равных: 1) 30°; 2) 45°; 3) 60°.

Значения тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс, котангенс) для указанных углов являются стандартными и часто используются в геометрии и тригонометрии.

1) Для угла 30°:
$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\cot 30^\circ = \sqrt{3}$

2) Для угла 45°:
$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\tan 45^\circ = 1$
$\cot 45^\circ = 1$

3) Для угла 60°:
$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$
$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$
$\cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ:
1) 30°: $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\cot 30^\circ = \sqrt{3}$.
2) 45°: $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan 45^\circ = 1$, $\cot 45^\circ = 1$.
3) 60°: $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$, $\cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

3. Какая зависимость существует между тригонометрическими функциями?

Между тригонометрическими функциями одного и того же угла существуют зависимости, которые называются основными тригонометрическими тождествами. Эти тождества верны для всех допустимых значений угла $\alpha$. Основные из них:

1. Основное тригонометрическое тождество. Оно связывает синус и косинус одного угла и является следствием теоремы Пифагора.
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

2. Определения тангенса и котангенса через синус и косинус.
$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ (при $\cos \alpha \neq 0$)
$\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ (при $\sin \alpha \neq 0$)

3. Связь между тангенсом и котангенсом. Это тождество является прямым следствием их определений.
$\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$ (при $\sin \alpha \neq 0$ и $\cos \alpha \neq 0$)

4. Следствия из основного тригонометрического тождества. Эти тождества связывают тангенс с косинусом и котангенс с синусом.
$1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ (при $\cos \alpha \neq 0$)
$1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$ (при $\sin \alpha \neq 0$)

Эти зависимости позволяют, зная значение одной тригонометрической функции, найти значения всех остальных (с учетом знака, который зависит от четверти, в которой находится угол).

Ответ: Между тригонометрическими функциями существуют зависимости, называемые основными тригонометрическими тождествами: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$; $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$; $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$; $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$; $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$; $1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.