Номер 2.74, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.74. Даны гипотенуза $c$ и острый угол $\alpha$ прямоугольного треугольника. Найдите катеты и углы этого треугольника.

1) $c = 16$ см, $\alpha = 30^\circ$;

2) $c = 4\sqrt{2}$ см, $\alpha = 45^\circ$;

3) $c = 6\sqrt{3}$ см, $\alpha = 60^\circ$.

1) Дано: гипотенуза $c = 16$ см, острый угол $α = 30°$.

В прямоугольном треугольнике один угол по определению равен $90°$. Второй острый угол, обозначим его $β$, можно найти из свойства, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90°$:
$β = 90° - α = 90° - 30° = 60°$.
Теперь найдем длины катетов. Обозначим катет, противолежащий углу $α$, как $a$, и катет, прилежащий к углу $α$, как $b$.
Катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла:
$a = c \cdot \sin \alpha = 16 \cdot \sin 30° = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$ см.
Катет, прилежащий к углу, равен произведению гипотенузы на косинус этого угла:
$b = c \cdot \cos \alpha = 16 \cdot \cos 30° = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ см.
Ответ: второй острый угол равен $60°$, катеты равны $8$ см и $8\sqrt{3}$ см.

2) Дано: гипотенуза $c = 4\sqrt{2}$ см, острый угол $α = 45°$.

Прямой угол треугольника равен $90°$. Находим второй острый угол $β$:
$β = 90° - α = 90° - 45° = 45°$.
Поскольку оба острых угла равны $45°$, треугольник является равнобедренным, и его катеты $a$ и $b$ равны.
Найдем катеты:
$a = c \cdot \sin \alpha = 4\sqrt{2} \cdot \sin 45° = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4 \cdot 2}{2} = 4$ см.
Так как $a = b$, то $b = 4$ см.
Ответ: второй острый угол равен $45°$, катеты равны $4$ см и $4$ см.

3) Дано: гипотенуза $c = 6\sqrt{3}$ см, острый угол $α = 60°$.

Прямой угол треугольника равен $90°$. Находим второй острый угол $β$:
$β = 90° - α = 90° - 60° = 30°$.
Найдем длины катетов $a$ (противолежащий углу $α$) и $b$ (прилежащий к углу $α$).
$a = c \cdot \sin \alpha = 6\sqrt{3} \cdot \sin 60° = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9$ см.
$b = c \cdot \cos \alpha = 6\sqrt{3} \cdot \cos 60° = 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 3\sqrt{3}$ см.
Ответ: второй острый угол равен $30°$, катеты равны $9$ см и $3\sqrt{3}$ см.