Номер 2.77, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.77. Постройте треугольник из задачи 2.72.

Задача 2.77 просит построить треугольник, используя данные из задачи 2.72. В классических задачниках по геометрии задача 2.72 обычно предлагает доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, выходящих из той же вершины. Исходя из этого, задача 2.77 на построение формулируется следующим образом: построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.

Пусть нам нужно построить треугольник $ABC$ по двум сторонам $AB = c$, $AC = b$ и медиане $AM = m_a$, проведенной из вершины $A$ к стороне $BC$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ уже построен. Проведем медиану $AM$. На продолжении медианы $AM$ за точку $M$ отложим отрезок $MD$, равный по длине отрезку $AM$. В результате получим отрезок $AD$ длиной $2m_a$.

Рассмотрим четырехугольник $ABDC$. Его диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$. По нашему построению, точка $M$ также является серединой отрезка $AD$. Поскольку диагонали четырехугольника $ABDC$ пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, этот четырехугольник является параллелограммом.

Основное свойство параллелограмма заключается в том, что его противоположные стороны равны. Следовательно, $BD = AC = b$ и $CD = AB = c$.

Теперь обратим внимание на треугольник $ABD$. Длины всех его трех сторон нам известны: $AB = c$, $BD = b$ и $AD = 2m_a$. Такой треугольник мы можем построить по трем сторонам с помощью циркуля и линейки.

Как только треугольник $ABD$ будет построен, мы сможем найти положение вершины $C$. Точка $M$ — это середина отрезка $AD$. Соединив точки $B$ и $M$, мы получим прямую, на которой лежит сторона $BC$. Поскольку $M$ — середина $BC$, вершина $C$ находится на луче $BM$ на таком же расстоянии от $M$, как и вершина $B$.

Для того чтобы построение треугольника $ABD$ было возможно, длины его сторон ($b$, $c$, и $2m_a$) должны удовлетворять неравенству треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. То есть, должны выполняться условия: $b + c > 2m_a$, $b + 2m_a > c$ и $c + 2m_a > b$. Эти три неравенства можно объединить в одно двойное неравенство: $|b-c| < 2m_a < b+c$. Первое из этих неравенств, $m_a < (b+c)/2$, как раз и является утверждением из задачи 2.72.

Построение

1. С помощью линейки строим отрезок $AD$ длиной, равной $2m_a$.

2. Из центра в точке $A$ строим окружность с радиусом $c$.

3. Из центра в точке $D$ строим окружность с радиусом $b$.

4. Точку пересечения этих двух окружностей обозначаем как $B$. (Если окружности не пересекаются или касаются, то треугольник с заданными параметрами не существует или является вырожденным).

5. Соединяем точки $A$, $B$ и $D$, получая вспомогательный треугольник $ABD$.

6. Находим середину отрезка $AD$ и обозначаем ее как $M$. Для этого можно построить серединный перпендикуляр к отрезку $AD$.

7. Проводим луч из точки $B$ через точку $M$. На этом луче откладываем отрезок $MC$, равный по длине отрезку $BM$.

8. Соединяем точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ соответствует заданным условиям.

• Сторона $AB$ имеет длину $c$ по построению (шаги 2 и 4).
• Отрезок $AM$ является медианой, так как $M$ — середина стороны $BC$ по построению (шаг 7).
• Длина медианы $AM$ равна половине длины отрезка $AD$ (шаг 6), который был построен длиной $2m_a$ (шаг 1). Следовательно, $AM = m_a$.
• Рассмотрим четырехугольник $ABDC$. Его диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$, которая является серединой каждой из них. Это означает, что $ABDC$ — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $AC = BD$. Длина $BD$ по построению равна $b$ (шаги 3 и 4). Таким образом, $AC = b$.

Ответ: Построение треугольника по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне, выполняется с помощью метода удвоения медианы. Сначала строится вспомогательный треугольник со сторонами, равными одной из данных сторон, второй данной стороне и удвоенной медиане. Затем, используя свойства параллелограмма, достраивается искомый треугольник, как описано в разделе "Построение".