Номер 2.84, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.84. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки, равные 2 см и 3 см. Найдите радиус этой окружности.

Пусть дан прямоугольный треугольник, катеты которого мы обозначим как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$. В этот треугольник вписана окружность с радиусом $r$.

По условию, точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 2 см и 3 см. Следовательно, длина гипотенузы $c$ равна сумме длин этих отрезков: $c = 2 + 3 = 5$ см.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: отрезки касательных от вершины треугольника до точек касания равны. Пусть точка касания на гипотенузе делит ее на отрезки, прилежащие к вершинам острых углов, длиной 2 см и 3 см. Тогда отрезки касательных от этих же вершин до точек касания на катетах также будут равны 2 см и 3 см соответственно.

Для прямоугольного треугольника отрезки касательных от вершины прямого угла до точек касания равны радиусу вписанной окружности $r$. Это следует из того, что четырехугольник, образованный вершиной прямого угла, центром вписанной окружности и двумя точками касания на катетах, является квадратом со стороной $r$.

Таким образом, мы можем выразить длины катетов $a$ и $b$ через радиус $r$ и длины отрезков на гипотенузе: $a = r + 2$ $b = r + 3$

Согласно теореме Пифагора, для любого прямоугольного треугольника выполняется равенство $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим в это уравнение выражения для сторон $a$, $b$ и значение $c$: $(r + 2)^2 + (r + 3)^2 = 5^2$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $r$: $(r^2 + 4r + 4) + (r^2 + 6r + 9) = 25$ $2r^2 + 10r + 13 = 25$ $2r^2 + 10r - 12 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения: $r^2 + 5r - 6 = 0$

Найдем корни этого уравнения, например, по теореме Виета. Произведение корней равно -6, а их сумма равна -5. Следовательно, корни уравнения: $r_1 = 1$ и $r_2 = -6$.

Поскольку радиус окружности является геометрической величиной (длиной), он не может быть отрицательным. Следовательно, единственное подходящее решение — это $r = 1$ см.

Ответ: 1 см.