Страница 72 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.83. Постройте прямоугольный треугольник, заданный в предыдущей задаче.

Поскольку условие задачи 2.83 отсылает к задаче 2.82, в которой рассматриваются три случая построения прямоугольного треугольника, приведём решения для каждого из них.

а)

Построение прямоугольного треугольника по двум катетам, длины которых равны данным отрезкам $a$ и $b$.

Построение:

1. Проведём произвольную прямую и отметим на ней точку $C$.
2. Построим прямую, проходящую через точку $C$ и перпендикулярную исходной прямой. Для этого с помощью циркуля построим окружность с центром в $C$ произвольного радиуса, которая пересечёт прямую в двух точках. Затем из этих двух точек как из центров проведём две дуги одинакового радиуса (большего, чем радиус первой окружности) до их пересечения. Прямая, проведённая через точку $C$ и точку пересечения дуг, будет перпендикулярна исходной прямой. Мы получили прямой угол с вершиной $C$.
3. На одной стороне прямого угла отложим от вершины $C$ отрезок $CB$, равный катету $a$.
4. На другой стороне прямого угла отложим от вершины $C$ отрезок $CA$, равный катету $b$.
5. Соединим точки $A$ и $B$ отрезком.

Доказательство: Полученный треугольник $ABC$ является прямоугольным, так как $\angle C = 90^\circ$ по построению. Его катеты $CB$ и $CA$ равны данным отрезкам $a$ и $b$ соответственно. Следовательно, треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ построен.

б)

Построение прямоугольного треугольника по катету $a$ и гипотенузе $c$ (где $c > a$).

Построение:

1. Построим прямой угол с вершиной $C$ (как описано в пункте а)).
2. На одной из сторон угла отложим от вершины $C$ отрезок $CB$, равный данному катету $a$.
3. Проведём окружность с центром в точке $B$ и радиусом, равным данной гипотенузе $c$.
4. Эта окружность пересечёт вторую сторону прямого угла в некоторой точке. Обозначим эту точку $A$.
5. Соединим точки $A$ и $B$ отрезком.

Доказательство: Полученный треугольник $ABC$ является прямоугольным, так как $\angle C = 90^\circ$ по построению. Катет $CB$ равен $a$ по построению. Сторона $AB$ является радиусом окружности с центром в $B$, поэтому её длина равна $c$. Следовательно, треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Прямоугольный треугольник с катетом $a$ и гипотенузой $c$ построен.

в)

Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе $c$ и прилежащему к ней острому углу $\alpha$.

Построение:

1. Проведём произвольную прямую и отложим на ней отрезок $AB$, равный данной гипотенузе $c$.
2. Найдём середину отрезка $AB$. Для этого построим две пересекающиеся дуги окружностей равного радиуса (больше половины длины $AB$) с центрами в точках $A$ и $B$. Прямая, проходящая через точки пересечения этих дуг, пересечёт отрезок $AB$ в его середине. Обозначим середину буквой $O$.
3. Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OA$ (или $OB$). Отрезок $AB$ будет являться диаметром этой окружности.
4. От луча $AB$ в точке $A$ отложим угол, равный данному углу $\alpha$. Для этого построим копию угла $\alpha$ с вершиной в точке $A$.
5. Вторая сторона построенного угла пересечёт окружность в некоторой точке. Обозначим эту точку $C$.
6. Соединим точки $C$ и $B$ отрезком.

Доказательство: В полученном треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна $c$ по построению. Угол $\angle BAC$ равен $\alpha$ по построению. Угол $\angle ACB$ является вписанным в окружность и опирается на её диаметр $AB$, следовательно, $\angle ACB = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $ABC$ — искомый прямоугольный треугольник.

Ответ: Прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$ построен.

2.84. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки, равные 2 см и 3 см. Найдите радиус этой окружности.

Пусть дан прямоугольный треугольник, катеты которого мы обозначим как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$. В этот треугольник вписана окружность с радиусом $r$.

По условию, точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 2 см и 3 см. Следовательно, длина гипотенузы $c$ равна сумме длин этих отрезков: $c = 2 + 3 = 5$ см.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: отрезки касательных от вершины треугольника до точек касания равны. Пусть точка касания на гипотенузе делит ее на отрезки, прилежащие к вершинам острых углов, длиной 2 см и 3 см. Тогда отрезки касательных от этих же вершин до точек касания на катетах также будут равны 2 см и 3 см соответственно.

Для прямоугольного треугольника отрезки касательных от вершины прямого угла до точек касания равны радиусу вписанной окружности $r$. Это следует из того, что четырехугольник, образованный вершиной прямого угла, центром вписанной окружности и двумя точками касания на катетах, является квадратом со стороной $r$.

Таким образом, мы можем выразить длины катетов $a$ и $b$ через радиус $r$ и длины отрезков на гипотенузе: $a = r + 2$ $b = r + 3$

Согласно теореме Пифагора, для любого прямоугольного треугольника выполняется равенство $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим в это уравнение выражения для сторон $a$, $b$ и значение $c$: $(r + 2)^2 + (r + 3)^2 = 5^2$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $r$: $(r^2 + 4r + 4) + (r^2 + 6r + 9) = 25$ $2r^2 + 10r + 13 = 25$ $2r^2 + 10r - 12 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения: $r^2 + 5r - 6 = 0$

Найдем корни этого уравнения, например, по теореме Виета. Произведение корней равно -6, а их сумма равна -5. Следовательно, корни уравнения: $r_1 = 1$ и $r_2 = -6$.

Поскольку радиус окружности является геометрической величиной (длиной), он не может быть отрицательным. Следовательно, единственное подходящее решение — это $r = 1$ см.

Ответ: 1 см.

2.85. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см. Найдите катеты (рис. 2.32).

Рис. 2.32

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $\angle C = 90^\circ$. В треугольник вписана окружность, которая касается гипотенузы $AB$ в точке $D$. По условию, точка $D$ делит гипотенузу на отрезки $AD = 5$ см и $DB = 12$ см.

Длина гипотенузы $c$ равна сумме длин этих отрезков:
$c = AB = AD + DB = 5 + 12 = 17$ см.

Пусть окружность касается катетов $AC$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, длины отрезков касательных от вершины до точек касания равны. Следовательно, мы имеем:

• $AE = AD = 5$ см (касательные из точки $A$)
• $BF = BD = 12$ см (касательные из точки $B$)

Пусть $r$ — радиус вписанной окружности. В прямоугольном треугольнике четырехугольник, образованный вершиной прямого угла $C$, точками касания на катетах $E$ и $F$, и центром окружности $O$, является квадратом. Отсюда следует, что $CE = CF = r$.

Теперь мы можем выразить длины катетов $a$ и $b$ через радиус $r$:

• Катет $a = BC = BF + FC = 12 + r$
• Катет $b = AC = AE + EC = 5 + r$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$ имеем: $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим в это уравнение выражения для сторон:

$(12 + r)^2 + (5 + r)^2 = 17^2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $r$:

$(144 + 24r + r^2) + (25 + 10r + r^2) = 289$

$2r^2 + 34r + 169 = 289$

$2r^2 + 34r - 120 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$r^2 + 17r - 60 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно $-60$, а их сумма равна $-17$. Этим условиям удовлетворяют числа $3$ и $-20$.
$r_1 = 3$, $r_2 = -20$.

Поскольку радиус окружности не может быть отрицательной величиной, мы выбираем корень $r = 3$ см.

Теперь найдем длины катетов, подставив значение $r=3$:

• Катет $AC = 5 + r = 5 + 3 = 8$ см.
• Катет $BC = 12 + r = 12 + 3 = 15$ см.

Ответ: катеты равны 8 см и 15 см.

2.86. В прямоугольный треугольник с углом $60^\circ$ вписан ромб со стороной, равной 6 см, так, что угол в $60^\circ$ у них общий и все вершины ромба лежат на сторонах треугольника. Найдите стороны треугольника (рис. 2.33).

Рис. 2.33

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^\circ$). По условию, один из острых углов равен $60^\circ$, и этот угол общий с ромбом. Судя по рисунку, это угол $A$. Таким образом, $\angle A = 60^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle B = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

В треугольник вписан ромб $AKPQ$ со стороной 6 см (исходя из рисунка и условия, где вершина $A$ — общая, $K$ лежит на $AC$, $P$ — на $AB$, и $Q$ — на $BC$). Это означает, что $AK = AP = PQ = KQ = 6$ см.

Найдем катет AC

Катет $AC$ состоит из отрезков $AK$ и $KC$. Длина $AK$ равна стороне ромба, то есть $AK = 6$ см. Чтобы найти $KC$, рассмотрим прямоугольный треугольник $KQC$ ($\angle C = 90^\circ$). Так как $AKPQ$ — ромб, его противоположные стороны параллельны, следовательно, $KQ \parallel AP$. Поскольку $AP$ лежит на стороне $AB$, то $KQ \parallel AB$. Прямые $KQ$ и $AB$ параллельны, а $AC$ и $BC$ — секущие. Значит, соответственные углы равны: $\angle QKC = \angle BAC = 60^\circ$ $\angle KQC = \angle ABC = 30^\circ$ В прямоугольном треугольнике $KQC$ сторона ромба $KQ=6$ см является гипотенузой. Найдем катет $KC$, который прилежит к углу в $60^\circ$: $KC = KQ \cdot \cos(\angle QKC) = 6 \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см. Теперь найдем длину всего катета $AC$: $AC = AK + KC = 6 \text{ см} + 3 \text{ см} = 9$ см.

Найдем катет BC

Катет $BC$ состоит из отрезков $BQ$ и $QC$. Найдем сначала $QC$ из того же треугольника $KQC$. Катет $QC$ противолежит углу $\angle QKC = 60^\circ$: $QC = KQ \cdot \sin(\angle QKC) = 6 \cdot \sin(60^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см. Теперь найдем $BQ$. Рассмотрим треугольник $PBQ$. Так как $AKPQ$ — ромб, то $PQ \parallel AK$. Поскольку $AK$ лежит на катете $AC$, то $PQ \parallel AC$. Так как $PQ \parallel AC$ и $BC \perp AC$, то $BC \perp PQ$. Следовательно, $\triangle PBQ$ является прямоугольным с прямым углом $\angle PQB = 90^\circ$. В этом треугольнике мы знаем катет $PQ = 6$ см (сторона ромба) и угол $\angle B = 30^\circ$. Найдем катет $BQ$: $\text{tg}(\angle B) = \frac{PQ}{BQ} \implies BQ = \frac{PQ}{\text{tg}(30^\circ)} = \frac{6}{1/\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}$ см. Теперь найдем длину всего катета $BC$: $BC = BQ + QC = 6\sqrt{3} \text{ см} + 3\sqrt{3} \text{ см} = 9\sqrt{3}$ см.

Найдем гипотенузу AB

Гипотенузу $AB$ можно найти по теореме Пифагора для $\triangle ABC$: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{9^2 + (9\sqrt{3})^2} = \sqrt{81 + 81 \cdot 3} = \sqrt{81 \cdot 4} = \sqrt{324} = 18$ см. Другой способ — сложить отрезки $AP$ и $PB$. Мы знаем $AP = 6$ см. Найдем $PB$ из прямоугольного $\triangle PBQ$: $\sin(\angle B) = \frac{PQ}{PB} \implies PB = \frac{PQ}{\sin(30^\circ)} = \frac{6}{1/2} = 12$ см. $AB = AP + PB = 6 \text{ см} + 12 \text{ см} = 18$ см.

Ответ: Стороны треугольника: катет $AC = 9$ см, катет $BC = 9\sqrt{3}$ см, гипотенуза $AB = 18$ см.

2.87. Если $r$ – радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$, то докажите, что $r = \frac{1}{2}(a+b-c)$.

2.87. Для доказательства данной формулы рассмотрим прямоугольный треугольник и вписанную в него окружность с точки зрения геометрии.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Длины катетов обозначим как $BC = a$ и $AC = b$, а длину гипотенузы — $AB = c$.

Пусть в этот треугольник вписана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$. Обозначим точки касания окружности со сторонами $BC$, $AC$ и $AB$ как $M$, $K$ и $N$ соответственно.

Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам. Следовательно, $OM \perp BC$ и $OK \perp AC$. Рассмотрим четырехугольник $OKCM$. Углы $\angle C$, $\angle OMC$ и $\angle OKC$ в нем прямые ($90^\circ$). Это означает, что $OKCM$ — прямоугольник. Поскольку его смежные стороны $OK$ и $OM$ равны радиусу вписанной окружности ($OK = OM = r$), этот прямоугольник является квадратом. Таким образом, длины отрезков $CK$ и $CM$ равны радиусу $r$, то есть $CK = CM = r$.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных из одной вершины к окружности: длины отрезков касательных от вершины до точек касания равны. Для вершины $A$ имеем $AK = AN$. Для вершины $B$ имеем $BM = BN$.

Теперь выразим длины катетов через полученные отрезки: Катет $a$ равен $BC = BM + MC$. Так как $MC = r$, получаем $a = BM + r$, откуда $BM = a - r$. Катет $b$ равен $AC = AK + KC$. Так как $KC = r$, получаем $b = AK + r$, откуда $AK = b - r$.

Длина гипотенузы $c$ равна сумме длин отрезков $AN$ и $NB$: $c = AB = AN + NB$. Заменим $AN$ на равный ему отрезок $AK$, а $NB$ на равный ему отрезок $BM$: $c = AK + BM$.

Подставим найденные выше выражения для $AK$ и $BM$: $c = (b - r) + (a - r)$.

Теперь решим полученное уравнение относительно $r$: $c = a + b - 2r$. Перенесем $2r$ в левую часть, а $c$ в правую: $2r = a + b - c$. Разделим обе части уравнения на 2: $r = \frac{1}{2}(a + b - c)$.

Таким образом, мы доказали, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, действительно равен половине разности суммы катетов и гипотенузы.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2.88. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 17 см, а гипотенуза – 13 см. Найдите катеты треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c.
По условию задачи дано, что сумма катетов $a + b = 17$ см, а гипотенуза $c = 13$ см.
Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.
Составим систему уравнений с двумя неизвестными:
$a + b = 17$
$a^2 + b^2 = 13^2$

Из первого уравнения выразим переменную a через b:
$a = 17 - b$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$(17 - b)^2 + b^2 = 169$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$17^2 - 2 \cdot 17 \cdot b + b^2 + b^2 = 169$
$289 - 34b + 2b^2 = 169$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:
$2b^2 - 34b + 289 - 169 = 0$
$2b^2 - 34b + 120 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 2:
$b^2 - 17b + 60 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета: сумма корней уравнения равна коэффициенту при b с противоположным знаком (т.е. 17), а произведение корней равно свободному члену (т.е. 60).
Подбором находим корни: $b_1 = 5$ и $b_2 = 12$, так как $5 + 12 = 17$ и $5 \cdot 12 = 60$.

Теперь найдем соответствующие значения для катета a:
1. Если $b_1 = 5$ см, то $a_1 = 17 - 5 = 12$ см.
2. Если $b_2 = 12$ см, то $a_2 = 17 - 12 = 5$ см.

Таким образом, в обоих случаях мы получаем, что катеты треугольника равны 5 см и 12 см.

Ответ: катеты треугольника равны 5 см и 12 см.

2.89. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и сумме катетов.

Анализ:

Предположим, что искомый прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ построен. Пусть его катеты $AC=a$, $BC=b$ и гипотенуза $AB=c$. По условию нам даны длина гипотенузы $c$ и сумма длин катетов $s = a+b$.

Для того чтобы использовать сумму катетов $s$, отложим на продолжении катета $AC$ за точку $C$ отрезок $CD$, равный катету $BC$. Тогда длина отрезка $AD$ будет равна $AC + CD = AC + BC = a+b = s$.

Рассмотрим треугольник $BCD$. Так как по построению $BC = CD$ и $BC \perp AD$ (поскольку $∠ACB = 90°$), то треугольник $BCD$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Углы при основании $BD$ в таком треугольнике равны по $45°$. В частности, $∠CDB = 45°$.

Теперь рассмотрим вспомогательный треугольник $ABD$. В этом треугольнике нам известны длины двух сторон: $AB = c$ (данная гипотенуза) и $AD = s$ (данная сумма катетов). Также нам известен угол, противолежащий стороне $AB$: $∠ADB = 45°$.

Треугольник $ABD$ можно построить по двум сторонам и углу, лежащему напротив одной из них. После построения этого треугольника, вершина $C$ искомого треугольника $ABC$ определяется как основание перпендикуляра, опущенного из вершины $B$ на прямую $AD$.

Построение:

На основе проведенного анализа составим план построения с помощью циркуля и линейки.

1. Провести произвольную прямую и отметить на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля отложить на прямой от точки $A$ отрезок $AD$, равный данной сумме катетов $s$.
3. В точке $D$ построить луч $m$, образующий с отрезком $AD$ угол $45°$. (Это можно сделать, построив в точке $D$ перпендикуляр к прямой $AD$ и разделив полученный прямой угол пополам с помощью циркуля и линейки).
4. Из точки $A$ как из центра провести дугу окружности с радиусом, равным данной гипотенузе $c$.
5. Точку пересечения этой дуги с лучом $m$ обозначить как $B$. (Если пересечение существует).
6. Из точки $B$ опустить перпендикуляр на прямую $AD$. Точку пересечения (основание перпендикуляра) обозначить как $C$.
7. Соединить точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство:

Докажем, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• По построению (шаг 6), $BC \perp AC$, следовательно, $∠ACB = 90°$. Таким образом, $ABC$ — прямоугольный треугольник.
• По построению (шаг 4), сторона $AB$ равна $c$. Таким образом, гипотенуза треугольника равна заданной длине.
• Осталось доказать, что сумма катетов $AC + BC$ равна $s$. Рассмотрим треугольник $BCD$. По построению $∠BCD = 90°$ и $∠BDC = 45°$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому $∠CBD = 180° - 90° - 45° = 45°$. Так как $∠CBD = ∠BDC$, треугольник $BCD$ является равнобедренным, и, следовательно, $BC = CD$.
• По построению (шаг 2), длина отрезка $AD$ равна $s$. Так как точка $C$ лежит на отрезке $AD$, то $AD = AC + CD$. Заменяя $CD$ на равный ему отрезок $BC$, получаем $AD = AC + BC$.
• Следовательно, $AC + BC = s$.

Все условия задачи выполнены.

Исследование:

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда дуга окружности из шага 4 пересекает луч $m$ из шага 3.

Это возможно, если расстояние от центра окружности (точки $A$) до луча $m$ не превышает радиуса $c$. Минимальное расстояние от точки $A$ до луча $m$ — это длина перпендикуляра, опущенного из $A$ на прямую, содержащую луч $m$. В треугольнике $ABD$ это высота $h_A$, опущенная на сторону $BD$. Проще рассмотреть расстояние от $A$ до луча $m$ через синус угла $D$. Расстояние от $A$ до прямой, содержащей луч $m$, равно $AD \sin(45°) = s \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, для существования хотя бы одной точки пересечения $B$ необходимо и достаточно, чтобы $c \ge s \frac{\sqrt{2}}{2}$, что эквивалентно $c\sqrt{2} \ge s$.

Кроме того, для существования самого треугольника $ABC$ должно выполняться неравенство треугольника: $a+b > c$, то есть $s>c$.

Итак, задача имеет решение, если выполняются условия $c < s \le c\sqrt{2}$.

• Если $s = c\sqrt{2}$, то $c = s\frac{\sqrt{2}}{2}$, и дуга касается луча. Решение единственно, при этом $a=b$, то есть треугольник равнобедренный.
• Если $c < s < c\sqrt{2}$, то окружность пересекает прямую, содержащую луч $m$, в двух точках. Однако, как правило, только одна из этих точек (или обе, что приводит к конгруэнтным треугольникам) будет лежать на луче $m$ и давать искомое построение. Анализ показывает, что два возможных решения для длин катетов $(a,b)$ и $(b,a)$ приводят к построению двух конгруэнтных треугольников. Таким образом, решение единственно с точностью до конгруэнтности.
• Если $s \le c$ или $s > c\sqrt{2}$, задача не имеет решений.

Ответ: Искомый треугольник строится по приведенному алгоритму. Построение возможно и дает единственный (с точностью до конгруэнтности) треугольник при условии, что данная сумма катетов $s$ больше данной гипотенузы $c$, но не превышает $c\sqrt{2}$.

2.90. Постройте прямоугольный треугольник по катету и по высоте, проведенной к гипотенузе.

Анализ

Пусть искомый прямоугольный треугольник $ABC$ построен. В нем $\angle C = 90^\circ$. Пусть $AC$ — данный катет, его длина равна $c$, а $CH$ — высота, проведенная к гипотенузе $AB$, ее длина равна $h$.

Рассмотрим треугольник $ACH$. В нем $\angle AHC = 90^\circ$, так как $CH$ — высота, опущенная на прямую $AB$. В этом прямоугольном треугольнике известны гипотенуза $AC = c$ и катет $CH = h$. Такой треугольник можно построить, если его гипотенуза не меньше катета, то есть $c \ge h$.

После построения треугольника $ACH$ мы определим положение вершин $A$ и $C$, а также прямой $AH$, на которой лежит гипотенуза искомого треугольника. Вершина $B$ искомого треугольника $ABC$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Она лежит на прямой $AH$.
2. Угол $\angle ACB$ должен быть прямым, то есть прямая $BC$ должна быть перпендикулярна прямой $AC$.

Таким образом, точка $B$ является точкой пересечения прямой $AH$ и прямой, проходящей через точку $C$ перпендикулярно $AC$. Из этого анализа следует план построения.

Построение

1. Построим прямоугольный треугольник $ACH$ по гипотенузе $c$ и катету $h$. Для этого:
   a) Проведем произвольную прямую $a$.
   б) Выберем на ней произвольную точку $H$.
   в) Восставим в точке $H$ перпендикуляр $b$ к прямой $a$.
   г) На перпендикуляре $b$ отложим отрезок $CH$, равный данной высоте $h$.
   д) Проведем окружность с центром в точке $C$ и радиусом, равным данному катету $c$. Точка пересечения этой окружности с прямой $a$ будет вершиной $A$ искомого треугольника. (Предполагаем, что $c>h$, тогда таких точек две, выбираем любую из них).
2. Проведем прямую через точки $A$ и $C$.
3. Построим прямую $d$, проходящую через точку $C$ перпендикулярно прямой $AC$.
4. Точка пересечения прямых $a$ и $d$ является третьей вершиной искомого треугольника — точкой $B$.
5. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи:

• Треугольник $ABC$ является прямоугольным, так как по построению (шаг 3) прямая $BC$ (частью которой является прямая $d$) перпендикулярна прямой $AC$, следовательно, $\angle ACB = 90^\circ$.
• Катет $AC$ равен данной длине $c$, так как точка $A$ была получена как точка пересечения окружности с центром в $C$ и радиусом $c$ с прямой $a$ (шаг 1д).
• Высота, проведенная из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$, равна $h$. Гипотенуза $AB$ лежит на прямой $a$. По построению (шаги 1в, 1г), отрезок $CH$ перпендикулярен прямой $a$ и его длина равна $h$. Следовательно, $CH$ — это высота треугольника $ABC$, проведенная к гипотенузе.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Исследование

Задача имеет решение не при любых заданных длинах $c$ и $h$.

Построение вершины $A$ в шаге 1д возможно только в том случае, если окружность с центром в $C$ и радиусом $c$ пересекает или касается прямой $a$. Расстояние от центра окружности $C$ до прямой $a$ равно длине отрезка $CH$, то есть $h$. Следовательно, для существования точек пересечения необходимо и достаточно, чтобы радиус окружности был не меньше расстояния от ее центра до прямой, то есть $c \ge h$.

• Если $c > h$, окружность пересекает прямую $a$ в двух различных точках ($A_1$ и $A_2$, симметричных относительно точки $H$). Выбор любой из этих точек для вершины $A$ приводит к построению треугольника, удовлетворяющего условию. Полученные таким образом треугольники будут равны между собой. Следовательно, при $c > h$ задача имеет единственное решение (с точностью до равенства треугольников).
• Если $c = h$, окружность касается прямой $a$ в точке $H$. В этом случае точка $A$ совпадает с $H$. Тогда катет $AC$ совпадает с высотой $CH$. Прямая, перпендикулярная $AC$ в точке $C$, будет параллельна прямой $a$. Следовательно, точка $B$ не может быть найдена как точка пересечения. Решения в виде невырожденного треугольника не существует.
• Если $c < h$, окружность не имеет общих точек с прямой $a$. Построение вершины $A$ невозможно, и задача не имеет решений.

Ответ: Алгоритм построения треугольника описан в пункте "Построение". Задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение при условии, что длина данного катета $c$ строго больше длины данной высоты $h$ (то есть, $c>h$). Если $c \le h$, то построить невырожденный треугольник, удовлетворяющий условиям, невозможно.

2.91. Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, а произведение катетов – $48 \text{ см}^2$. Найдите радиусы описанной около треугольника и вписанной в треугольник окружностей.

Радиус описанной около треугольника окружности

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу — как $c$. Из условия задачи нам даны периметр $P$ и произведение катетов:
$P = a + b + c = 24$ см
$a \cdot b = 48$ см$^2$

Для нахождения радиуса описанной окружности $R$ нам необходимо сначала найти длину гипотенузы $c$. Радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы: $R = \frac{c}{2}$.

Выразим сумму катетов из формулы периметра: $a + b = 24 - c$.
Воспользуемся теоремой Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$ и алгебраическим тождеством $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.
Подставим известные значения в тождество:
$(24 - c)^2 = (a^2 + b^2) + 2(ab)$
$(24 - c)^2 = c^2 + 2 \cdot 48$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $c$:
$24^2 - 2 \cdot 24 \cdot c + c^2 = c^2 + 96$
$576 - 48c + c^2 = c^2 + 96$
$576 - 96 = 48c$
$480 = 48c$
$c = 10$ см.

Теперь мы можем найти радиус описанной окружности:
$R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

Радиус вписанной в треугольник окружности

Радиус вписанной окружности $r$ можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24$ см$^2$.

Полупериметр — это половина периметра:
$p = \frac{P}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Подставляем найденные значения в формулу для радиуса вписанной окружности:
$r = \frac{S}{p} = \frac{24}{12} = 2$ см.

Также для проверки можно использовать другую формулу, справедливую для прямоугольного треугольника: $r = \frac{a + b - c}{2}$. Мы ранее нашли, что $c=10$ см и $a+b = 24 - c = 24 - 10 = 14$ см.
$r = \frac{14 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.
Результаты совпадают.

Ответ: 2 см.

2.92. В прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найдите периметр квадрата.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$, и катетами $AC = 5$ см и $BC = 12$ см. В него вписан квадрат $CDEF$, имеющий с треугольником общий прямой угол $C$. Это означает, что вершины $D$ и $F$ квадрата лежат на катетах $AC$ и $BC$ соответственно, а вершина $E$ — на гипотенузе $AB$.

Обозначим сторону квадрата через $x$. Тогда $CD = CF = DE = FE = x$.Поскольку точка $D$ лежит на катете $AC$, то длина отрезка $AD$ равна $AC - CD = 5 - x$.

Рассмотрим треугольник $ADE$, который образуется в верхней части большого треугольника. Так как $CDEF$ — квадрат, его сторона $DE$ параллельна стороне $CF$, которая лежит на катете $BC$. Таким образом, $DE \parallel BC$. Поскольку катет $AC$ перпендикулярен катету $BC$ (так как $\angle C = 90^\circ$), то $AC$ также перпендикулярен и прямой $DE$. Следовательно, угол $\angle ADE$ является прямым, т.е. $\angle ADE = 90^\circ$.

Теперь мы можем доказать подобие треугольников $ADE$ и $ABC$. Они подобны по двум углам:
1. Угол $\angle DAE$ (или $\angle A$) является общим для обоих треугольников.
2. Углы $\angle ADE$ и $\angle ACB$ оба прямые ($\angle ADE = \angle ACB = 90^\circ$).
Следовательно, треугольники $ADE$ и $ABC$ подобны ($\triangle ADE \sim \triangle ABC$).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно. Составим пропорцию для катетов:
$\frac{AD}{AC} = \frac{DE}{BC}$

Подставим известные значения и переменную $x$ в эту пропорцию:
$\frac{5 - x}{5} = \frac{x}{12}$

Решим полученное уравнение относительно $x$, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$12 \cdot (5 - x) = 5 \cdot x$
$60 - 12x = 5x$
$60 = 5x + 12x$
$60 = 17x$
$x = \frac{60}{17}$

Мы нашли длину стороны квадрата: $x = \frac{60}{17}$ см.Теперь найдем периметр квадрата, который вычисляется по формуле $P = 4x$.
$P = 4 \cdot \frac{60}{17} = \frac{240}{17}$ см.

Ответ: $\frac{240}{17}$ см.

2.93. В прямоугольном треугольнике с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ выполнено равенство $b = \sqrt{ac}$. Найдите острые углы треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$. Острые углы, противолежащие катетам $a$ и $b$, обозначим как $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Из условия задачи нам известно равенство $b = \sqrt{ac}$, что эквивалентно $b^2 = ac$.

Для любого прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим в это уравнение данное нам условие $b^2 = ac$:

$a^2 + ac = c^2$

Мы получили уравнение, связывающее длины катета $a$ и гипотенузы $c$. Разделим все члены этого уравнения на $a^2$ (это возможно, так как длина катета $a$ не может быть равна нулю):

$1 + \frac{c}{a} = \left(\frac{c}{a}\right)^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно отношения $\frac{c}{a}$:

$\left(\frac{c}{a}\right)^2 - \frac{c}{a} - 1 = 0$

Введем замену $x = \frac{c}{a}$. Уравнение примет вид:

$x^2 - x - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней:

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Так как $x$ представляет собой отношение длин гипотенузы и катета ($x = \frac{c}{a}$), это значение должно быть положительным. Следовательно, мы выбираем корень со знаком плюс:

$x = \frac{c}{a} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Теперь мы можем найти значения тригонометрических функций острых углов. По определению, синус угла $\alpha$ (угла, противолежащего катету $a$) в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета $a$ к гипотенузе $c$:

$\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{1}{c/a} = \frac{1}{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}} = \frac{2}{1 + \sqrt{5}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{5} - 1)$:

$\sin \alpha = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{5 - 1} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{4} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

Таким образом, один из острых углов, $\alpha$, таков, что его синус равен $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.

Второй острый угол $\beta$ можно найти из того факта, что сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Следовательно, $\alpha + \beta = 90^\circ$.

Поэтому $\sin \alpha = \cos \beta$.

Значит, $\cos \beta = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.

Острые углы треугольника можно выразить через обратные тригонометрические функции:

$\alpha = \arcsin\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right)$

$\beta = \arccos\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right)$

Так как $\alpha + \beta = 90^\circ$, то $\beta$ также можно выразить как $90^\circ - \arcsin\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right)$.

Ответ: Острые углы треугольника равны $\arcsin\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right)$ и $\arccos\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right)$ (или $90^\circ - \arcsin\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right)$).

2.94. Медианы, проведенные к катетам прямоугольного треугольника, равны $\sqrt{52}$ и $\sqrt{73}$. Найдите гипотенузу.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. Согласно теореме Пифагора, для этого треугольника справедливо равенство: $a^2 + b^2 = c^2$.

Обозначим медиану, проведенную к катету $a$, как $m_a$, а медиану, проведенную к катету $b$, как $m_b$. По условию задачи, нам даны длины этих медиан: $m_a = \sqrt{52}$ и $m_b = \sqrt{73}$.

Медиана, проведенная к катету, является гипотенузой в другом прямоугольном треугольнике. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный медианой $m_b$, катетом $a$ и половиной катета $b$ (отрезком длиной $\frac{b}{2}$). По теореме Пифагора для этого треугольника получаем:
$m_b^2 = a^2 + (\frac{b}{2})^2$
Подставив известное значение $m_b^2 = (\sqrt{73})^2 = 73$, получим первое уравнение:
$a^2 + \frac{b^2}{4} = 73$

Аналогично, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный медианой $m_a$, катетом $b$ и половиной катета $a$ (отрезком длиной $\frac{a}{2}$). По теореме Пифагора для этого треугольника получаем:
$m_a^2 = b^2 + (\frac{a}{2})^2$
Подставив известное значение $m_a^2 = (\sqrt{52})^2 = 52$, получим второе уравнение:
$b^2 + \frac{a^2}{4} = 52$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($a^2$ и $b^2$):
$\left\{ \begin{array}{l} a^2 + \frac{b^2}{4} = 73 \\ b^2 + \frac{a^2}{4} = 52 \end{array} \right.$

Чтобы найти гипотенузу $c$, нам нужно вычислить сумму квадратов катетов $a^2 + b^2$. Для этого сложим левые и правые части обоих уравнений системы:
$(a^2 + \frac{b^2}{4}) + (b^2 + \frac{a^2}{4}) = 73 + 52$

Сгруппируем слагаемые:
$(a^2 + \frac{a^2}{4}) + (b^2 + \frac{b^2}{4}) = 125$
$\frac{5a^2}{4} + \frac{5b^2}{4} = 125$

Вынесем общий множитель $\frac{5}{4}$ за скобки:
$\frac{5}{4}(a^2 + b^2) = 125$

Теперь выразим искомую сумму $a^2 + b^2$:
$a^2 + b^2 = 125 \cdot \frac{4}{5}$
$a^2 + b^2 = \frac{125 \cdot 4}{5} = 25 \cdot 4 = 100$

Поскольку по теореме Пифагора для исходного треугольника $c^2 = a^2 + b^2$, то мы имеем:
$c^2 = 100$
$c = \sqrt{100} = 10$ (длина гипотенузы может быть только положительным числом).

Ответ: 10.

2.95. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, точка касания делит гипотенузу в отношении 2 : 3, а ее центр удален от вершины прямого угла на расстояние, равное $\sqrt{8}$ см. Найдите стороны треугольника.

Обозначим прямоугольный треугольник как $ABC$, где $\angle C = 90^\circ$. Пусть $a$ и $b$ - катеты ($BC$ и $AC$ соответственно), а $c$ - гипотенуза ($AB$). Пусть вписанная окружность с центром в точке $I$ и радиусом $r$ касается гипотенузы $AB$ в точке $F$, катета $AC$ в точке $E$ и катета $BC$ в точке $D$.

По условию, точка касания $F$ делит гипотенузу $AB$ в отношении $2:3$. Пусть отрезки, на которые точка $F$ делит гипотенузу, равны $2x$ и $3x$. Тогда, без ограничения общности, можно положить $AF = 2x$ и $FB = 3x$.

Длина всей гипотенузы $c$ равна сумме этих отрезков: $c = AB = AF + FB = 2x + 3x = 5x$.

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной вершины к вписанной окружности, имеем: $AE = AF = 2x$ $BD = BF = 3x$

Рассмотрим четырехугольник $CDIE$. Так как радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам, то $\angle IEC = \angle IDC = 90^\circ$. Угол $C$ треугольника также прямой, $\angle C = 90^\circ$. Следовательно, $CDIE$ - прямоугольник. Поскольку смежные стороны $ID$ и $IE$ равны радиусу $r$, то $CDIE$ - квадрат со стороной $r$. Таким образом, $CD = CE = r$.

Теперь выразим катеты треугольника через $x$ и $r$: Катет $a = BC = BD + DC = 3x + r$. Катет $b = AC = AE + EC = 2x + r$.

Применим теорему Пифагора для треугольника $ABC$: $a^2 + b^2 = c^2$. $(3x + r)^2 + (2x + r)^2 = (5x)^2$ Раскроем скобки: $(9x^2 + 6xr + r^2) + (4x^2 + 4xr + r^2) = 25x^2$ $13x^2 + 10xr + 2r^2 = 25x^2$ Перенесем все члены в одну сторону: $2r^2 + 10xr - 12x^2 = 0$ Разделим уравнение на 2: $r^2 + 5xr - 6x^2 = 0$

Решим это уравнение как квадратное относительно $r$. Его можно разложить на множители: $(r - x)(r + 6x) = 0$ Так как радиус $r$ и величина $x$ являются длинами отрезков, они должны быть положительными. Поэтому $r + 6x > 0$. Следовательно, единственное возможное решение - это $r - x = 0$, откуда $r = x$.

По условию, центр вписанной окружности $I$ удален от вершины прямого угла $C$ на расстояние, равное $\sqrt{8}$ см. Поместим вершину $C$ в начало координат $(0, 0)$. Тогда катет $AC$ лежит на оси $Oy$, а катет $BC$ - на оси $Ox$. Координаты центра вписанной окружности $I$ будут $(r, r)$. Расстояние от точки $I(r, r)$ до точки $C(0, 0)$ равно: $IC = \sqrt{(r-0)^2 + (r-0)^2} = \sqrt{r^2 + r^2} = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2}$.

Нам дано, что $IC = \sqrt{8}$. $r\sqrt{2} = \sqrt{8}$ $r\sqrt{2} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ Отсюда $r = 2$ см.

Поскольку мы ранее установили, что $r = x$, то $x = 2$ см.

Теперь мы можем найти длины всех сторон треугольника: Катет $a = 3x + r = 3(2) + 2 = 6 + 2 = 8$ см. Катет $b = 2x + r = 2(2) + 2 = 4 + 2 = 6$ см. Гипотенуза $c = 5x = 5(2) = 10$ см.

Ответ: стороны треугольника равны 6 см, 8 см и 10 см.

2.96. По высоте, проведенной к гипотенузе, и биссектрисе прямого-угла постройте прямоугольный треугольник.

Анализ

Пусть искомый прямоугольный треугольник ABC построен, и $\angle C = 90^\circ$. Пусть CH — высота, проведенная к гипотенузе AB, и ее длина равна данному отрезку $h_c$. Пусть CL — биссектриса прямого угла C, и ее длина равна данному отрезку $l_c$. Точки H (основание высоты) и L (основание биссектрисы) лежат на гипотенузе AB.

Поскольку CH — высота, то $CH \perp AB$. Следовательно, треугольник CHL является прямоугольным с прямым углом при вершине H. В этом треугольнике нам известны катет $CH = h_c$ и гипотенуза $CL = l_c$. Такой треугольник можно построить с помощью циркуля и линейки, если выполняется условие $l_c \ge h_c$. Построение этого треугольника позволяет найти вершину C, а также прямую, на которой лежит гипотенуза AB (это прямая, проходящая через точки H и L).

Так как CL — биссектриса угла C, то она делит прямой угол на два равных угла: $\angle ACL = \angle BCL = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$. Это означает, что катеты AC и BC образуют с прямой CL углы в $45^\circ$.

Таким образом, план построения становится ясен. Сначала строим вспомогательный треугольник CHL. Затем, имея прямую CL, строим через точку C две прямые, содержащие катеты AC и BC. Эти прямые должны составлять угол $45^\circ$ с прямой CL. Вершины A и B искомого треугольника будут точками пересечения этих прямых с прямой HL.

Ответ: План построения состоит в том, чтобы сначала построить вспомогательный прямоугольный треугольник CHL по известному катету $h_c$ и гипотенузе $l_c$. Затем, используя построенный отрезок CL как биссектрису, построить прямые, содержащие катеты искомого треугольника, как прямые, проходящие через точку C под углом $45^\circ$ к прямой CL. Вершины искомого треугольника A и B будут лежать на пересечении этих прямых с прямой HL.

Построение

Пусть даны два отрезка: $h_c$ (высота) и $l_c$ (биссектриса), причем $l_c \ge h_c$.

1. Проведем произвольную прямую $a$. Эта прямая будет содержать гипотенузу искомого треугольника.

2. Отметим на прямой $a$ произвольную точку H.

3. Через точку H проведем прямую $b$, перпендикулярную прямой $a$.

4. На прямой $b$ отложим отрезок $CH$, равный данной высоте $h_c$. Для этого построим окружность с центром в H и радиусом $h_c$ и отметим одну из точек пересечения с прямой $b$ как C.

5. Теперь найдем положение точки L на прямой $a$. Построим окружность с центром в точке C и радиусом, равным данной биссектрисе $l_c$.

6. Эта окружность пересечет прямую $a$ в точке (если $l_c = h_c$) или двух точках (если $l_c > h_c$). Выберем одну из точек пересечения и назовем ее L. Мы построили прямоугольный треугольник CHL.

7. Через точку C проведем прямую, содержащую отрезок CL.

8. Построим прямые, содержащие катеты треугольника. Для этого необходимо провести через точку C две прямые под углом $45^\circ$ к прямой CL. Сначала проведем через точку C прямую $d$, перпендикулярную прямой CL.

9. Построим биссектрисы двух смежных прямых углов, образованных прямыми CL и $d$. Назовем эти биссектрисы $p$ и $q$. Прямые $p$ и $q$ перпендикулярны друг другу.

10. Найдем вершины A и B. Точка A — это точка пересечения прямой $p$ с прямой $a$.

11. Точка B — это точка пересечения прямой $q$ с прямой $a$.

12. Соединим точки A, B и C. Треугольник ABC — искомый.

Ответ: Построен треугольник ABC, удовлетворяющий условиям задачи.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник ABC.

Во-первых, по построению, отрезок CH перпендикулярен прямой $a$, на которой лежит сторона AB. Следовательно, CH является высотой треугольника ABC, проведенной к стороне AB. Длина CH по построению равна $h_c$.

Во-вторых, прямые $p$ (содержащая AC) и $q$ (содержащая BC) были построены как биссектрисы прямых углов между прямой CL и перпендикулярной ей прямой $d$. Следовательно, угол между прямыми $p$ и $q$ равен $90^\circ$. Таким образом, $\angle ACB = 90^\circ$, и треугольник ABC — прямоугольный.

В-третьих, по построению, прямая CL является биссектрисой угла между прямыми $p$ и $q$, так как она делит прямой угол между ними на два угла по $45^\circ$. Значит, CL — биссектриса угла ACB. Длина отрезка CL от вершины C до пересечения с гипотенузой AB по построению равна $l_c$.

Таким образом, построенный треугольник ABC является прямоугольным, его высота, проведенная к гипотенузе, равна $h_c$, а биссектриса прямого угла равна $l_c$. Следовательно, треугольник ABC является искомым.

Ответ: Построенный треугольник ABC является искомым, так как он прямоугольный, высота, проведенная к гипотенузе, равна $h_c$, а биссектриса прямого угла равна $l_c$.

Исследование

Задача на построение имеет решение тогда и только тогда, когда возможно выполнить все шаги построения.

Ключевым шагом, определяющим возможность решения, является построение прямоугольного треугольника CHL по катету $CH = h_c$ и гипотенузе $CL = l_c$. Такое построение возможно только в том случае, если гипотенуза не меньше катета, то есть $l_c \ge h_c$.

Случай 1: $l_c < h_c$. В этом случае окружность с центром C и радиусом $l_c$ не пересечет прямую $a$, и точку L построить невозможно. Задача не имеет решений.

Случай 2: $l_c = h_c$. В этом случае точка L совпадает с точкой H. Построение возможно и приводит к единственному (с точностью до конгруэнтности) решению. Искомый треугольник ABC будет равнобедренным, так как высота и биссектриса, проведенные из вершины C, совпадают, а значит $\angle A = \angle B = 45^\circ$.

Случай 3: $l_c > h_c$. В этом случае окружность с центром C и радиусом $l_c$ пересекает прямую $a$ в двух точках, L и L', симметричных относительно H. Выбор любой из этих точек для построения приводит к конгруэнтным треугольникам (один будет зеркальным отражением другого относительно высоты CH). Следовательно, задача также имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение.

Ответ: Задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение при $l_c \ge h_c$. При $l_c < h_c$ задача решений не имеет.