Номер 2.95, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.95. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, точка касания делит гипотенузу в отношении 2 : 3, а ее центр удален от вершины прямого угла на расстояние, равное $\sqrt{8}$ см. Найдите стороны треугольника.

Обозначим прямоугольный треугольник как $ABC$, где $\angle C = 90^\circ$. Пусть $a$ и $b$ - катеты ($BC$ и $AC$ соответственно), а $c$ - гипотенуза ($AB$). Пусть вписанная окружность с центром в точке $I$ и радиусом $r$ касается гипотенузы $AB$ в точке $F$, катета $AC$ в точке $E$ и катета $BC$ в точке $D$.

По условию, точка касания $F$ делит гипотенузу $AB$ в отношении $2:3$. Пусть отрезки, на которые точка $F$ делит гипотенузу, равны $2x$ и $3x$. Тогда, без ограничения общности, можно положить $AF = 2x$ и $FB = 3x$.

Длина всей гипотенузы $c$ равна сумме этих отрезков: $c = AB = AF + FB = 2x + 3x = 5x$.

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной вершины к вписанной окружности, имеем: $AE = AF = 2x$ $BD = BF = 3x$

Рассмотрим четырехугольник $CDIE$. Так как радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам, то $\angle IEC = \angle IDC = 90^\circ$. Угол $C$ треугольника также прямой, $\angle C = 90^\circ$. Следовательно, $CDIE$ - прямоугольник. Поскольку смежные стороны $ID$ и $IE$ равны радиусу $r$, то $CDIE$ - квадрат со стороной $r$. Таким образом, $CD = CE = r$.

Теперь выразим катеты треугольника через $x$ и $r$: Катет $a = BC = BD + DC = 3x + r$. Катет $b = AC = AE + EC = 2x + r$.

Применим теорему Пифагора для треугольника $ABC$: $a^2 + b^2 = c^2$. $(3x + r)^2 + (2x + r)^2 = (5x)^2$ Раскроем скобки: $(9x^2 + 6xr + r^2) + (4x^2 + 4xr + r^2) = 25x^2$ $13x^2 + 10xr + 2r^2 = 25x^2$ Перенесем все члены в одну сторону: $2r^2 + 10xr - 12x^2 = 0$ Разделим уравнение на 2: $r^2 + 5xr - 6x^2 = 0$

Решим это уравнение как квадратное относительно $r$. Его можно разложить на множители: $(r - x)(r + 6x) = 0$ Так как радиус $r$ и величина $x$ являются длинами отрезков, они должны быть положительными. Поэтому $r + 6x > 0$. Следовательно, единственное возможное решение - это $r - x = 0$, откуда $r = x$.

По условию, центр вписанной окружности $I$ удален от вершины прямого угла $C$ на расстояние, равное $\sqrt{8}$ см. Поместим вершину $C$ в начало координат $(0, 0)$. Тогда катет $AC$ лежит на оси $Oy$, а катет $BC$ - на оси $Ox$. Координаты центра вписанной окружности $I$ будут $(r, r)$. Расстояние от точки $I(r, r)$ до точки $C(0, 0)$ равно: $IC = \sqrt{(r-0)^2 + (r-0)^2} = \sqrt{r^2 + r^2} = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2}$.

Нам дано, что $IC = \sqrt{8}$. $r\sqrt{2} = \sqrt{8}$ $r\sqrt{2} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ Отсюда $r = 2$ см.

Поскольку мы ранее установили, что $r = x$, то $x = 2$ см.

Теперь мы можем найти длины всех сторон треугольника: Катет $a = 3x + r = 3(2) + 2 = 6 + 2 = 8$ см. Катет $b = 2x + r = 2(2) + 2 = 4 + 2 = 6$ см. Гипотенуза $c = 5x = 5(2) = 10$ см.

Ответ: стороны треугольника равны 6 см, 8 см и 10 см.