Номер 3.2, страница 75 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.2. Точки $N$, $E$, $L$ и $K$ – середины соответствующих сторон $AB$, $AD$, $BC$ и $CD$ прямоугольника $ABCD$ (рис. 3.7). Какую часть площади прямоугольника $ABCD$ составляют площади следующих фигур:

1) $\triangle ABD$;

2) $\triangle ABE$;

3) $ABKD$;

4) $ABLKD$;

5) $ABLKE$;

6) $LKEN$;

7) $ALD$ и $BEC$?

Обозначим стороны прямоугольника $ABCD$ как $AD = a$ и $AB = b$. Тогда площадь прямоугольника равна $S_{ABCD} = a \cdot b$.

По условию задачи, точки $N, E, L, K$ являются серединами сторон $AB, AD, BC, CD$ соответственно. Следовательно:

• $N$ — середина $AB$, поэтому $AN = NB = \frac{b}{2}$
• $E$ — середина $AD$, поэтому $AE = ED = \frac{a}{2}$
• $L$ — середина $BC$, поэтому $BL = LC = \frac{a}{2}$ (так как $BC=AD$)
• $K$ — середина $CD$, поэтому $CK = KD = \frac{b}{2}$ (так как $CD=AB$)

1) ΔABD;

Треугольник $ABD$ является прямоугольным, так как его стороны $AB$ и $AD$ являются сторонами прямоугольника. Его площадь равна половине произведения катетов $AB$ и $AD$.

$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AB = \frac{1}{2} a b$.

Отношение площади треугольника $ABD$ к площади прямоугольника $ABCD$ составляет:

$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{1}{2}ab}{ab} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) ΔABE;

Треугольник $ABE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$. Его катеты — $AB$ и $AE$. Длина $AB = b$, а $AE = \frac{AD}{2} = \frac{a}{2}$.

Площадь треугольника $ABE$ равна:

$S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AE = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{a}{2} = \frac{ab}{4}$.

Отношение его площади к площади прямоугольника:

$\frac{S_{\triangle ABE}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{1}{4}ab}{ab} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

3) ΔBKD;

Для нахождения площади треугольника $BKD$ примем за основание сторону $KD$. Длина основания $KD = \frac{CD}{2} = \frac{b}{2}$. Высотой, проведенной из вершины $B$ к основанию $KD$ (и прямой $CD$), будет сторона $BC$, длина которой равна $a$.

Площадь треугольника $BKD$ равна:

$S_{\triangle BKD} = \frac{1}{2} \cdot KD \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{b}{2} \cdot a = \frac{ab}{4}$.

Отношение его площади к площади прямоугольника:

$\frac{S_{\triangle BKD}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{1}{4}ab}{ab} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

4) ABLKD;

Фигура $ABLKD$ — это пятиугольник. Его площадь можно найти, вычтя из площади всего прямоугольника $ABCD$ площадь треугольника $CLK$.

Треугольник $CLK$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. Его катеты — $CL$ и $CK$.

$CL = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$ и $CK = \frac{CD}{2} = \frac{b}{2}$.

Площадь треугольника $CLK$ равна:

$S_{\triangle CLK} = \frac{1}{2} \cdot CL \cdot CK = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} = \frac{ab}{8}$.

Площадь пятиугольника $ABLKD$ равна:

$S_{ABLKD} = S_{ABCD} - S_{\triangle CLK} = ab - \frac{ab}{8} = \frac{7}{8}ab$.

Отношение его площади к площади прямоугольника:

$\frac{S_{ABLKD}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{7}{8}ab}{ab} = \frac{7}{8}$.

Ответ: $\frac{7}{8}$.

5) ABLKE;

Фигура $ABLKE$ — это пятиугольник. Его площадь можно найти, вычтя из площади прямоугольника $ABCD$ площади двух треугольников: $\triangle CLK$ и $\triangle EKD$.

Площадь $\triangle CLK$ мы уже нашли, она равна $\frac{ab}{8}$.

Треугольник $EKD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$. Его катеты — $ED$ и $KD$.

$ED = \frac{AD}{2} = \frac{a}{2}$ и $KD = \frac{CD}{2} = \frac{b}{2}$.

Площадь треугольника $EKD$ равна:

$S_{\triangle EKD} = \frac{1}{2} \cdot ED \cdot KD = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} = \frac{ab}{8}$.

Площадь пятиугольника $ABLKE$ равна:

$S_{ABLKE} = S_{ABCD} - S_{\triangle CLK} - S_{\triangle EKD} = ab - \frac{ab}{8} - \frac{ab}{8} = ab - \frac{2ab}{8} = ab - \frac{ab}{4} = \frac{3}{4}ab$.

Отношение его площади к площади прямоугольника:

$\frac{S_{ABLKE}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{3}{4}ab}{ab} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

6) LKEN;

Четырехугольник $LKEN$ соединяет середины сторон прямоугольника. Его площадь можно найти, вычтя из площади прямоугольника $ABCD$ площади четырех угловых треугольников: $\triangle NAE$, $\triangle NBL$, $\triangle LCK$ и $\triangle KDE$.

Площади всех этих треугольников равны:

$S_{\triangle NAE} = S_{\triangle NBL} = S_{\triangle LCK} = S_{\triangle KDE} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} = \frac{ab}{8}$.

Сумма их площадей равна $4 \cdot \frac{ab}{8} = \frac{ab}{2}$.

Площадь четырехугольника $LKEN$ равна:

$S_{LKEN} = S_{ABCD} - 4 \cdot \frac{ab}{8} = ab - \frac{ab}{2} = \frac{1}{2}ab$.

Отношение его площади к площади прямоугольника:

$\frac{S_{LKEN}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{1}{2}ab}{ab} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

7) ALD и BEC?

Найдем площади треугольников $ALD$ и $BEC$.

Для треугольника $ALD$ основание $AD = a$. Высота, проведенная из вершины $L$ к основанию $AD$, равна стороне $AB=b$.

$S_{\triangle ALD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot b = \frac{1}{2}ab$.

Для треугольника $BEC$ основание $BC = a$. Высота, проведенная из вершины $E$ к основанию $BC$, равна стороне $AB=b$.

$S_{\triangle BEC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot b = \frac{1}{2}ab$.

Отношение площади каждого из этих треугольников к площади прямоугольника составляет $\frac{\frac{1}{2}ab}{ab} = \frac{1}{2}$.

Ответ: Площадь каждого из треугольников $\triangle ALD$ и $\triangle BEC$ составляет $\frac{1}{2}$ площади прямоугольника $ABCD$.