Номер 3.8, страница 76 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.8. Докажите, что прямоугольник ABCD и треугольник AKD, изображенные на рис. 3.9, равновелики. Здесь $AE = EK$.

Рис. 3.9

Для доказательства того, что прямоугольник $ABCD$ и треугольник $AKD$ равновелики, то есть имеют равные площади, необходимо сравнить выражения для их площадей.

Площадь прямоугольника $ABCD$ вычисляется по формуле произведения его смежных сторон: $S_{ABCD} = AD \cdot AB$.

Площадь треугольника $AKD$ равна половине произведения его основания на высоту. Если принять $AD$ за основание, то формула площади будет $S_{AKD} = \frac{1}{2} AD \cdot h_K$, где $h_K$ — это высота, опущенная из вершины $K$ на прямую, содержащую сторону $AD$.

Таким образом, задача сводится к доказательству равенства $AD \cdot AB = \frac{1}{2} AD \cdot h_K$, что эквивалентно $AB = \frac{1}{2} h_K$, или $h_K = 2 \cdot AB$.

Проведем высоту $KM$ из вершины $K$ к основанию $AD$ (точка $M$ лежит на прямой $AD$). Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его сторона $BC$ параллельна стороне $AD$. Следовательно, высота $KM$ пересечет прямую $BC$. Обозначим точку их пересечения буквой $L$.

Рассмотрим треугольник $AKM$. Отрезок $EL$ является частью прямой $BC$, которая параллельна прямой $AD$, а значит, и отрезку $AM$. Таким образом, $EL \parallel AM$.

По условию задачи дано, что $AE = EK$. Это означает, что точка $E$ является серединой стороны $AK$ в треугольнике $AKM$.

Применим теорему Фалеса: если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне. В нашем случае, прямая $EL$ проходит через середину стороны $AK$ (точку $E$) и параллельна стороне $AM$, следовательно, она пересекает сторону $KM$ в ее середине, точке $L$.

Из этого следует, что $KL = LM$.

Отрезок $LM$ является частью высоты $KM$ и заключен между параллельными прямыми $BC$ и $AD$. Расстояние между этими прямыми равно высоте прямоугольника, то есть $AB$. Таким образом, $LM = AB$.

Так как $KL = LM$, мы получаем, что $KL = AB$.

Теперь найдем полную длину высоты $h_K$ треугольника $AKD$:$h_K = KM = KL + LM = AB + AB = 2 \cdot AB$.

Подставим найденное значение высоты $h_K$ в формулу площади треугольника $AKD$:$S_{AKD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_K = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot (2 \cdot AB) = AD \cdot AB$.

Сравнивая площади, мы видим, что $S_{ABCD} = AD \cdot AB$ и $S_{AKD} = AD \cdot AB$. Следовательно, $S_{ABCD} = S_{AKD}$.

Ответ: Площадь прямоугольника $S_{ABCD} = AD \cdot AB$. Высота треугольника $AKD$, проведенная к основанию $AD$, равна $h_K = 2 \cdot AB$. Поэтому площадь треугольника $S_{AKD} = \frac{1}{2} AD \cdot (2 \cdot AB) = AD \cdot AB$. Так как площади фигур равны, прямоугольник $ABCD$ и треугольник $AKD$ равновелики.