Номер 3.10, страница 76 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.10. Докажите, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

Данное утверждение является формулировкой теоремы Пифагора в терминах площадей. Докажем его, используя геометрический метод, основанный на вычислении площади одной и той же фигуры двумя способами.

Пусть нам дан прямоугольный треугольник с катетами, длины которых равны $a$ и $b$, и гипотенузой длиной $c$.

Площадь квадрата, построенного на стороне фигуры, равна квадрату длины этой стороны. Таким образом, площадь квадрата на катете $a$ равна $a^2$, на катете $b$ — $b^2$, а на гипотенузе $c$ — $c^2$. Нам необходимо доказать, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе, то есть:

$a^2 + b^2 = c^2$

Для доказательства выполним следующее построение. Возьмем квадрат, построенный на гипотенузе $c$ (его площадь равна $c^2$), и расположим вокруг него четыре копии нашего исходного прямоугольного треугольника таким образом, чтобы гипотенуза каждого треугольника примыкала к одной из сторон квадрата.

В результате мы получим новую, большую фигуру. Убедимся, что эта фигура является квадратом. Каждая ее сторона состоит из катета $a$ одного треугольника и катета $b$ другого, соединенных вместе. Таким образом, все стороны этой большой фигуры равны $(a+b)$. Углы этой фигуры совпадают с прямыми углами приставленных треугольников, значит, они все прямые ($90^\circ$). Следовательно, большая фигура — это квадрат со стороной $(a+b)$.

Теперь площадь этого большого квадрата можно вычислить двумя способами.

Способ 1: По длине его стороны.
Площадь квадрата со стороной $(a+b)$ равна $S = (a+b)^2$. Используя формулу квадрата суммы, получаем: $S = a^2 + 2ab + b^2$.

Способ 2: Как сумму площадей фигур, из которых он состоит.
Большой квадрат состоит из одного центрального квадрата (со стороной $c$) и четырех одинаковых прямоугольных треугольников (с катетами $a$ и $b$).

• Площадь центрального квадрата: $S_{центр} = c^2$.
• Площадь одного треугольника: $S_{тр} = \frac{1}{2}ab$.
• Суммарная площадь четырех треугольников: $4 \times S_{тр} = 4 \times \frac{1}{2}ab = 2ab$.

Мы получили два разных выражения для площади одной и той же фигуры. Приравняем их:

$a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$

Вычтем из обеих частей равенства слагаемое $2ab$:

$a^2 + b^2 = c^2$

Это равенство доказывает, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Следовательно, сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на его гипотенузе.