Номер 2.79, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.3. Решение прямоугольных треугольников. Раздел 2. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника - номер 2.79, страница 71.

Учебник rus.

2.78. Постройте треугольник по отрезк

2.79. Постройте треугольник из задачи 2.74.

Учебник kz.

Решение.

Решение 2 rus.

Задача 2.79 ссылается на задачу 2.74, условие которой: «Постройте треугольник по стороне и прилежащим к ней углам». Это классическая задача на построение, в основе которой лежит второй признак равенства треугольников. Решение выполняется с помощью циркуля и линейки.

Анализ. Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. Сторона $BC$ равна данному отрезку $a$, а прилежащие к ней углы $\angle B$ и $\angle C$ равны данным углам $\alpha$ и $\beta$. Видно, что вершина $A$ является точкой пересечения двух лучей: одного, выпущенного из точки $B$ под углом $\alpha$ к отрезку $BC$, и другого, выпущенного из точки $C$ под углом $\beta$ к отрезку $CB$. Это наблюдение и ложится в основу построения.

Построение. Пусть нам дан отрезок $P_1Q_1$ (длиной $a$) и два угла $\angle h_1k_1$ (величиной $\alpha$) и $\angle h_2k_2$ (величиной $\beta$).

1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $B$.
2. С помощью циркуля отложим на прямой от точки $B$ отрезок $BC$, равный данному отрезку $P_1Q_1$.
3. От луча $BC$ в одной полуплоскости построим угол $\angle MBC$, равный данному углу $\angle h_1k_1$.
4. От луча $CB$ в той же полуплоскости построим угол $\angle NCB$, равный данному углу $\angle h_2k_2$.
5. Точку пересечения лучей $BM$ и $CN$ обозначим буквой $A$.
6. Треугольник $ABC$ – искомый.

Доказательство. В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC$ равна данному отрезку $P_1Q_1$ (по шагу 2), угол $\angle B$ равен данному углу $\angle h_1k_1$ (по шагу 3), а угол $\angle C$ равен данному углу $\angle h_2k_2$ (по шагу 4). Следовательно, треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование. Построение возможно только в том случае, если построенные лучи $BM$ и $CN$ пересекаются. Это произойдет тогда и только тогда, когда сумма углов $\alpha$ и $\beta$ будет меньше $180^\circ$ (поскольку сумма углов треугольника равна $180^\circ$). Если $\alpha + \beta < 180^\circ$, то задача имеет единственное решение (с точностью до равенства треугольников). Если $\alpha + \beta \ge 180^\circ$, то лучи не пересекутся, и задача решения не имеет.

Ответ: Алгоритм построения треугольника по стороне и двум прилежащим углам описан выше. Построение возможно и решение единственно, если сумма двух данных углов меньше $180^\circ$.