Номер 2.72, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.72. Даны катет $a$ и прилежащий острый угол $\beta$ прямоугольного треугольника. Найдите другие стороны и углы этого треугольника.

1) $a = 6$ см, $\beta = 30^\circ$;

2) $a = 4$ см, $\beta = 45^\circ$;

3) $a = 8$ см, $\beta = 60^\circ$.

В задаче дан прямоугольный треугольник. Обозначим его катеты как $a$ и $b$, гипотенузу как $c$. Углы, противолежащие сторонам $a$ и $b$, обозначим как $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Прямой угол равен $90^\circ$.
По условию, дан катет $a$ и прилежащий к нему острый угол. Этот угол не может быть $\alpha$ (так как $\alpha$ противолежит катету $a$), следовательно, это угол $\beta$. Таким образом, нам известны катет $a$, прилежащий к нему угол $\beta$ и прямой угол $90^\circ$. Нам нужно найти второй острый угол $\alpha$, второй катет $b$ и гипотенузу $c$.

Для решения мы будем использовать следующие соотношения в прямоугольном треугольнике:
1. Сумма острых углов: $\alpha + \beta = 90^\circ$. Отсюда $\alpha = 90^\circ - \beta$.
2. Тангенс острого угла: $\tan(\beta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{b}{a}$. Отсюда $b = a \cdot \tan(\beta)$.
3. Косинус острого угла: $\cos(\beta) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c}$. Отсюда $c = \frac{a}{\cos(\beta)}$.

1) Дано: катет $a = 6$ см, прилежащий острый угол $\beta = 30^\circ$.

Находим второй острый угол $\alpha$:
$\alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
Находим второй катет $b$ (противолежащий углу $\beta$):
$b = a \cdot \tan(\beta) = 6 \cdot \tan(30^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.
Находим гипотенузу $c$:
$c = \frac{a}{\cos(\beta)} = \frac{6}{\cos(30^\circ)} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.
Ответ: другой острый угол равен $60^\circ$, второй катет равен $2\sqrt{3}$ см, гипотенуза равна $4\sqrt{3}$ см.

2) Дано: катет $a = 4$ см, прилежащий острый угол $\beta = 45^\circ$.

Находим второй острый угол $\alpha$:
$\alpha = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
Поскольку $\alpha = \beta$, треугольник является равнобедренным, следовательно, его катеты равны: $b=a=4$ см.
Также можем вычислить через тангенс:
$b = a \cdot \tan(\beta) = 4 \cdot \tan(45^\circ) = 4 \cdot 1 = 4$ см.
Находим гипотенузу $c$:
$c = \frac{a}{\cos(\beta)} = \frac{4}{\cos(45^\circ)} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.
Ответ: другой острый угол равен $45^\circ$, второй катет равен $4$ см, гипотенуза равна $4\sqrt{2}$ см.

3) Дано: катет $a = 8$ см, прилежащий острый угол $\beta = 60^\circ$.

Находим второй острый угол $\alpha$:
$\alpha = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
Находим второй катет $b$ (противолежащий углу $\beta$):
$b = a \cdot \tan(\beta) = 8 \cdot \tan(60^\circ) = 8 \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см.
Находим гипотенузу $c$:
$c = \frac{a}{\cos(\beta)} = \frac{8}{\cos(60^\circ)} = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 16$ см.
Ответ: другой острый угол равен $30^\circ$, второй катет равен $8\sqrt{3}$ см, гипотенуза равна $16$ см.