Страница 82 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.22. Пусть S – площадь трапеции, a и b – основания, h – высота, проведенная к основанию. Заполните следующую таблицу:

Для решения задачи воспользуемся формулой площади трапеции: $S = \frac{a+b}{2}h$, где $S$ — площадь, $a$ и $b$ — основания, $h$ — высота.

1. Дано: $a = 4$, $b = 2$, $h = 3$.
Необходимо найти площадь $S$.
Подставляем известные значения в формулу площади трапеции:
$S = \frac{4 + 2}{2} \cdot 3 = \frac{6}{2} \cdot 3 = 3 \cdot 3 = 9$.
Ответ: 9

2. Дано: $a = 5$, $b = 3$, $S = 24$.
Необходимо найти высоту $h$.
Из формулы площади $S = \frac{a+b}{2}h$ выражаем высоту $h$: $h = \frac{2S}{a+b}$.
Подставляем известные значения:
$h = \frac{2 \cdot 24}{5 + 3} = \frac{48}{8} = 6$.
Ответ: 6

3. Дано: $a = 7$, $h = 5$, $S = 25$.
Необходимо найти основание $b$.
Из формулы площади $S = \frac{a+b}{2}h$ выражаем сумму оснований $\frac{2S}{h} = a+b$, а затем искомое основание $b = \frac{2S}{h} - a$.
Подставляем известные значения:
$b = \frac{2 \cdot 25}{5} - 7 = \frac{50}{5} - 7 = 10 - 7 = 3$.
Ответ: 3

4. Дано: $b = 2$, $h = 3$, $S = 21$.
Необходимо найти основание $a$.
Аналогично предыдущему пункту, выражаем $a$: $a = \frac{2S}{h} - b$.
Подставляем известные значения:
$a = \frac{2 \cdot 21}{3} - 2 = \frac{42}{3} - 2 = 14 - 2 = 12$.
Ответ: 12

5. Дано: $a = \frac{2}{\sqrt{2}}$, $b = \sqrt{2}$, $h = \frac{2}{3}$.
Необходимо найти площадь $S$.
Сначала упростим значение основания $a$: $a = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
Подставляем значения в формулу площади:
$S = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{3} = \sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
Ответ: $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

6. Дано: $b = 1$, $h = 2$, $S = 7$.
Необходимо найти основание $a$.
Подставляем известные значения в формулу: $7 = \frac{a + 1}{2} \cdot 2$.
Упрощаем выражение: $7 = a + 1$.
Находим $a$: $a = 7 - 1 = 6$.
Ответ: 6

7. Дано: $a = 4$, $h = \sqrt{2}$, $S = \frac{8}{\sqrt{2}}$.
Необходимо найти основание $b$.
Сначала упростим значение площади $S$: $S = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$.
Подставляем значения в формулу: $4\sqrt{2} = \frac{4 + b}{2} \cdot \sqrt{2}$.
Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$: $4 = \frac{4 + b}{2}$.
Умножим обе части на 2: $8 = 4 + b$.
Находим $b$: $b = 8 - 4 = 4$.
Ответ: 4

8. Дано: $b = 3$, $h = \sqrt{3}$, $S = 27$.
Необходимо найти основание $a$.
Выражаем $a$ из формулы площади: $a = \frac{2S}{h} - b$.
Подставляем известные значения:
$a = \frac{2 \cdot 27}{\sqrt{3}} - 3 = \frac{54}{\sqrt{3}} - 3$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{54}{\sqrt{3}} = \frac{54\sqrt{3}}{3} = 18\sqrt{3}$.
Тогда: $a = 18\sqrt{3} - 3$.
Ответ: $18\sqrt{3} - 3$

3.23. Найдите площадь ромба, если его сторона равна $\sqrt{3}$ см, а острый угол – $60^{\circ}$.

Для нахождения площади ромба можно использовать формулу, которая связывает его сторону и угол между сторонами. Ромб является частным случаем параллелограмма, поэтому его площадь можно вычислить как произведение квадрата стороны на синус угла между ними.

Формула площади ромба:

$S = a^2 \cdot \sin(\alpha)$

где $S$ — площадь ромба, $a$ — длина его стороны, а $\alpha$ — угол между сторонами.

Согласно условию задачи, у нас есть следующие данные:

- Длина стороны ромба $a = \sqrt{3}$ см.

- Острый угол ромба $\alpha = 60°$.

Теперь подставим эти значения в формулу для вычисления площади:

$S = (\sqrt{3})^2 \cdot \sin(60°)$

Сначала вычислим квадрат стороны:

$(\sqrt{3})^2 = 3$

Затем найдем значение синуса 60°. Это табличное значение:

$\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь умножим полученные результаты, чтобы найти площадь ромба:

$S = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Таким образом, площадь ромба равна $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ квадратных сантиметров.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ см².

3.24. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны:

1) $3 \text{ см}$ и $4 \text{ см}$;

2) $1,2 \text{ м}$ и $3 \text{ м}$.

Для нахождения площади прямоугольного треугольника используется формула, связывающая его катеты. Площадь ($S$) равна половине произведения длин катетов ($a$ и $b$).
Формула площади: $S = \frac{1}{2}ab$.

1) Даны катеты прямоугольного треугольника: $a = 3$ см и $b = 4$ см.
Подставим значения длин катетов в формулу площади:
$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = \frac{12}{2} = 6$ (см²).
Ответ: $6$ см².

2) Даны катеты прямоугольного треугольника: $a = 1,2$ м и $b = 3$ м.
Подставим значения длин катетов в формулу площади:
$S = \frac{1}{2} \cdot 1,2 \cdot 3 = \frac{3,6}{2} = 1,8$ (м²).
Ответ: $1,8$ м².

3.25. Найдите площадь треугольника по двум его сторонам $a$ и $b$ и углу $\alpha$ между ними:

1) $a = 2$ см, $b = 3$ см, $\alpha = 30^{\circ}$;

2) $a = 2\sqrt{2}$ дм, $b = 5\sqrt{2}$ дм, $\alpha = 45^{\circ}$;

3) $a = 2$ м, $b = \sqrt{3}$ м, $\alpha = 90^{\circ}$;

4) $a = 0,4$ см, $b = 0,8$ см, $\alpha = 60^{\circ}$.

Для нахождения площади треугольника по двум сторонам $a$, $b$ и углу $\alpha$ между ними используется следующая формула:

$S = \frac{1}{2}ab \sin\alpha$

1)

Подставляем в формулу значения $a = 2$ см, $b = 3$ см и $\alpha = 30°$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sin(30°)$

Поскольку значение синуса $30°$ равно $\frac{1}{2}$, получаем:

$S = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1,5$

Ответ: $1,5$ см².

2)

Подставляем в формулу значения $a = 2\sqrt{2}$ дм, $b = 5\sqrt{2}$ дм и $\alpha = 45°$. (Примечание: в условии, вероятно, опечатка, и имелось в виду $b = 5\sqrt{2}$ дм, что является наиболее логичным вариантом).

$S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \sin(45°)$

Упрощаем произведение сторон: $2\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = 10 \cdot (\sqrt{2})^2 = 10 \cdot 2 = 20$.

Поскольку значение синуса $45°$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$

Ответ: $5\sqrt{2}$ дм².

3)

Подставляем в формулу значения $a = 2$ м, $b = \sqrt{3}$ м и $\alpha = 90°$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sin(90°)$

Поскольку значение синуса $90°$ равно $1$, получаем:

$S = \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$ м².

4)

Подставляем в формулу значения $a = 0,4$ см, $b = 0,8$ см и $\alpha = 60°$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 0,4 \cdot 0,8 \cdot \sin(60°)$

Поскольку значение синуса $60°$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$S = 0,5 \cdot 0,32 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 0,16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 0,08\sqrt{3}$

Ответ: $0,08\sqrt{3}$ см².

3.26. Найдите площадь треугольника по трем его сторонам:

1) 2 см; 3 см; 4 см;

2) 2,5 см; 1 см; 2 см;

3) 5 м; 7 м; 9 м;

4) 5 дм; 5 дм; 6 дм.

Для нахождения площади треугольника по трем его сторонам $a$, $b$ и $c$ используется формула Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

где $p$ — полупериметр треугольника, который вычисляется по формуле:

$p = \frac{a+b+c}{2}$

1) Даны стороны треугольника: $a = 2 \text{ см}$, $b = 3 \text{ см}$, $c = 4 \text{ см}$.

Сначала найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{2 + 3 + 4}{2} = \frac{9}{2} = 4,5 \text{ см}$.

Теперь подставим значения в формулу Герона:

$S = \sqrt{4,5(4,5-2)(4,5-3)(4,5-4)} = \sqrt{4,5 \cdot 2,5 \cdot 1,5 \cdot 0,5}$

Для удобства вычислений переведем десятичные дроби в обыкновенные:

$S = \sqrt{\frac{9}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1}{16}} = \sqrt{\frac{135}{16}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 15}}{4} = \frac{3\sqrt{15}}{4} \text{ см}^2$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{15}}{4} \text{ см}^2$.

2) Даны стороны треугольника: $a = 2,5 \text{ см}$, $b = 1 \text{ см}$, $c = 2 \text{ см}$.

Найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{2,5 + 1 + 2}{2} = \frac{5,5}{2} = 2,75 \text{ см}$.

Подставим значения в формулу Герона:

$S = \sqrt{2,75(2,75-2,5)(2,75-1)(2,75-2)} = \sqrt{2,75 \cdot 0,25 \cdot 1,75 \cdot 0,75}$

Переведем десятичные дроби в обыкновенные:

$S = \sqrt{\frac{11}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{7}{4} \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{11 \cdot 1 \cdot 7 \cdot 3}{4^4}} = \sqrt{\frac{231}{256}} = \frac{\sqrt{231}}{16} \text{ см}^2$.

Ответ: $\frac{\sqrt{231}}{16} \text{ см}^2$.

3) Даны стороны треугольника: $a = 5 \text{ м}$, $b = 7 \text{ м}$, $c = 9 \text{ м}$.

Найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{5 + 7 + 9}{2} = \frac{21}{2} = 10,5 \text{ м}$.

Подставим значения в формулу Герона:

$S = \sqrt{10,5(10,5-5)(10,5-7)(10,5-9)} = \sqrt{10,5 \cdot 5,5 \cdot 3,5 \cdot 1,5}$

Переведем десятичные дроби в обыкновенные:

$S = \sqrt{\frac{21}{2} \cdot \frac{11}{2} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{(3 \cdot 7) \cdot 11 \cdot 7 \cdot 3}{16}} = \sqrt{\frac{3^2 \cdot 7^2 \cdot 11}{16}} = \frac{3 \cdot 7 \sqrt{11}}{4} = \frac{21\sqrt{11}}{4} \text{ м}^2$.

Ответ: $\frac{21\sqrt{11}}{4} \text{ м}^2$.

4) Даны стороны треугольника: $a = 5 \text{ дм}$, $b = 5 \text{ дм}$, $c = 6 \text{ дм}$.

Найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{5 + 5 + 6}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ дм}$.

Подставим значения в формулу Герона:

$S = \sqrt{8(8-5)(8-5)(8-6)} = \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{16 \cdot 9} = \sqrt{144} = 12 \text{ дм}^2$.

Ответ: $12 \text{ дм}^2$.

3.27. Площадь параллелограмма равна $5 \text{ см}^2$, а две его смежные стороны – $2 \text{ см}$ и $5 \text{ см}$. Найдите острый угол и высоты параллелограмма.

Нахождение острого угла
Площадь параллелограмма ($S$) может быть вычислена по формуле через произведение длин двух смежных сторон ($a$ и $b$) и синус угла ($\alpha$) между ними: $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$.
Согласно условию, имеем: площадь $S = 5 \text{ см}^2$, и стороны $a = 2 \text{ см}$, $b = 5 \text{ см}$.
Подставим известные значения в формулу:
$5 = 2 \cdot 5 \cdot \sin(\alpha)$
$5 = 10 \cdot \sin(\alpha)$
Из этого уравнения находим синус угла $\alpha$:
$\sin(\alpha) = \frac{5}{10} = 0.5$
Острый угол, синус которого равен 0.5, составляет $30^\circ$. Поскольку по условию требуется найти именно острый угол, это и есть искомое значение.
Ответ: острый угол равен $30^\circ$.

Нахождение высот параллелограмма
Площадь параллелограмма также можно определить как произведение длины стороны (основания) на высоту, проведенную к этой стороне. У параллелограмма есть две высоты ($h_a$ и $h_b$), проведенные к сторонам $a$ и $b$ соответственно.
1. Найдем высоту $h_a$, проведенную к стороне $a = 2 \text{ см}$. Используем формулу $S = a \cdot h_a$:
$5 = 2 \cdot h_a$
$h_a = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ см}$.
2. Найдем высоту $h_b$, проведенную к стороне $b = 5 \text{ см}$. Используем формулу $S = b \cdot h_b$:
$5 = 5 \cdot h_b$
$h_b = \frac{5}{5} = 1 \text{ см}$.
Ответ: высоты параллелограмма равны 2,5 см и 1 см.

3.28. Диагональ параллелограмма, равная 13 см, перпендикулярна его стороне, равной 12 см. Найдите площадь параллелограмма.

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = a \cdot h$, где $a$ — длина стороны (основания), а $h$ — высота, проведенная к этой стороне.

Согласно условию задачи, у нас есть сторона параллелограмма, которую мы можем принять за основание. Ее длина составляет $a = 12$ см.

Также дано, что диагональ параллелограмма перпендикулярна этой стороне. Это означает, что данная диагональ является высотой параллелограмма, проведенной к указанному основанию. Таким образом, высота $h$ равна длине этой диагонали: $h = 13$ см.

Теперь мы можем подставить известные значения в формулу для вычисления площади параллелограмма:$S = a \cdot h = 12 \text{ см} \cdot 13 \text{ см} = 156 \text{ см}^2$.

Ответ: 156 см².

3.29. Параллелограмм и прямоугольник имеют равные стороны. Площадь прямоугольника в два раза больше площади параллелограмма. Найдите острый угол параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма и, соответственно, равные им стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Площадь прямоугольника ($S_{прям}$) вычисляется как произведение его смежных сторон: $S_{прям} = a \cdot b$

Площадь параллелограмма ($S_{пар}$) вычисляется как произведение его смежных сторон на синус угла между ними. Пусть $\alpha$ — острый угол параллелограмма. Тогда формула площади выглядит так: $S_{пар} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

Согласно условию задачи, площадь прямоугольника в два раза больше площади параллелограмма: $S_{прям} = 2 \cdot S_{пар}$

Подставим выражения для площадей в это соотношение: $a \cdot b = 2 \cdot (a \cdot b \cdot \sin(\alpha))$

Так как длины сторон $a$ и $b$ не могут быть равны нулю, мы можем сократить произведение $a \cdot b$ в обеих частях уравнения: $1 = 2 \cdot \sin(\alpha)$

Выразим из этого уравнения $\sin(\alpha)$: $\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$

Значение острого угла, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.