Номер 3.25, страница 82 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.25. Найдите площадь треугольника по двум его сторонам $a$ и $b$ и углу $\alpha$ между ними:

1) $a = 2$ см, $b = 3$ см, $\alpha = 30^{\circ}$;

2) $a = 2\sqrt{2}$ дм, $b = 5\sqrt{2}$ дм, $\alpha = 45^{\circ}$;

3) $a = 2$ м, $b = \sqrt{3}$ м, $\alpha = 90^{\circ}$;

4) $a = 0,4$ см, $b = 0,8$ см, $\alpha = 60^{\circ}$.

Для нахождения площади треугольника по двум сторонам $a$, $b$ и углу $\alpha$ между ними используется следующая формула:

$S = \frac{1}{2}ab \sin\alpha$

1)

Подставляем в формулу значения $a = 2$ см, $b = 3$ см и $\alpha = 30°$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sin(30°)$

Поскольку значение синуса $30°$ равно $\frac{1}{2}$, получаем:

$S = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1,5$

Ответ: $1,5$ см².

2)

Подставляем в формулу значения $a = 2\sqrt{2}$ дм, $b = 5\sqrt{2}$ дм и $\alpha = 45°$. (Примечание: в условии, вероятно, опечатка, и имелось в виду $b = 5\sqrt{2}$ дм, что является наиболее логичным вариантом).

$S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \sin(45°)$

Упрощаем произведение сторон: $2\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = 10 \cdot (\sqrt{2})^2 = 10 \cdot 2 = 20$.

Поскольку значение синуса $45°$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$

Ответ: $5\sqrt{2}$ дм².

3)

Подставляем в формулу значения $a = 2$ м, $b = \sqrt{3}$ м и $\alpha = 90°$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sin(90°)$

Поскольку значение синуса $90°$ равно $1$, получаем:

$S = \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$ м².

4)

Подставляем в формулу значения $a = 0,4$ см, $b = 0,8$ см и $\alpha = 60°$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 0,4 \cdot 0,8 \cdot \sin(60°)$

Поскольку значение синуса $60°$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$S = 0,5 \cdot 0,32 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 0,16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 0,08\sqrt{3}$

Ответ: $0,08\sqrt{3}$ см².