Номер 3.30, страница 83 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.30. Сторона ромба равна 10 см, а одна из диагоналей – 12 см. Найдите высоту и диагональ ромба.

Нахождение второй диагонали

По условию, сторона ромба $a = 10$ см, а одна из его диагоналей $d_1 = 12$ см. Диагонали ромба обладают свойством пересекаться под прямым углом и делиться точкой пересечения пополам. Таким образом, ромб делится на четыре равных прямоугольных треугольника.

В каждом из этих треугольников гипотенузой является сторона ромба ($a=10$ см), а катетами — половины его диагоналей. Длина половины известной диагонали составляет $\frac{d_1}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см. Обозначим половину искомой диагонали как $\frac{d_2}{2}$.

Применим теорему Пифагора к одному из таких треугольников:

$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$

Подставим известные значения в формулу:

$6^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 10^2$

$36 + (\frac{d_2}{2})^2 = 100$

Найдем квадрат половины второй диагонали:

$(\frac{d_2}{2})^2 = 100 - 36 = 64$

Теперь найдем длину половины второй диагонали:

$\frac{d_2}{2} = \sqrt{64} = 8$ см.

Следовательно, полная длина второй диагонали $d_2$ равна удвоенной длине ее половины:

$d_2 = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Ответ: вторая диагональ ромба равна 16 см.

Нахождение высоты

Площадь ромба ($S$) можно вычислить двумя способами. Приравняв их, можно найти высоту.

1. Формула площади через диагонали: $S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$

2. Формула площади через сторону и высоту: $S = a \cdot h$

Сначала вычислим площадь ромба, используя длины обеих диагоналей ($d_1 = 12$ см и $d_2 = 16$ см):

$S = \frac{12 \cdot 16}{2} = \frac{192}{2} = 96$ см$^2$.

Теперь, зная площадь ($S = 96$ см$^2$) и длину стороны ромба ($a=10$ см), найдем его высоту $h$ из второй формулы:

$S = a \cdot h$

$96 = 10 \cdot h$

$h = \frac{96}{10} = 9.6$ см.

Ответ: высота ромба равна 9,6 см.