Номер 3.35, страница 83 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. Раздел 3. Площадь - номер 3.35, страница 83.

Учебник rus.

3.35. Найдите площадь треугольника, если его сторона равна $a$, а прилежащие к ней углы – $\alpha$ и $\beta$.

Учебник kz.

Решение.

Решение 2 rus.

Пусть в треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна $a$, а прилежащие к ней углы равны $\angle A = \alpha$ и $\angle B = \beta$. Площадь треугольника $S$ можно найти по формуле:
$S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$.

Примем сторону $AB$ за основание. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AB$. Обозначим длину высоты $CH$ как $h$. Тогда площадь треугольника равна:
$S = \frac{1}{2} a h$.

Теперь необходимо выразить высоту $h$ через известные величины $a$, $\alpha$ и $\beta$. Высота $CH$ делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle ACH$ и $\triangle BCH$. В этих треугольниках:
$\angle CAH = \angle A = \alpha$
$\angle CBH = \angle B = \beta$

Основание $AB$ равно сумме отрезков $AH$ и $BH$: $a = AH + BH$. Из прямоугольного треугольника $ACH$ выразим катет $AH$ через другой катет $CH=h$ и угол $\alpha$:
$\text{tg}(\alpha) = \frac{CH}{AH} = \frac{h}{AH} \implies AH = \frac{h}{\text{tg}(\alpha)} = h \cdot \text{ctg}(\alpha)$.
Аналогично из прямоугольного треугольника $BCH$ выразим катет $BH$ через катет $CH=h$ и угол $\beta$:
$\text{tg}(\beta) = \frac{CH}{BH} = \frac{h}{BH} \implies BH = \frac{h}{\text{tg}(\beta)} = h \cdot \text{ctg}(\beta)$.

Подставим выражения для $AH$ и $BH$ в равенство $a = AH + BH$:
$a = h \cdot \text{ctg}(\alpha) + h \cdot \text{ctg}(\beta)$
Вынесем $h$ за скобки:
$a = h (\text{ctg}(\alpha) + \text{ctg}(\beta))$

Отсюда выразим высоту $h$:
$h = \frac{a}{\text{ctg}(\alpha) + \text{ctg}(\beta)}$

Для упрощения выражения в знаменателе воспользуемся тригонометрическими тождествами. Запишем котангенсы через синусы и косинусы и приведем к общему знаменателю:
$\text{ctg}(\alpha) + \text{ctg}(\beta) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} + \frac{\cos(\beta)}{\sin(\beta)} = \frac{\cos(\alpha)\sin(\beta) + \sin(\alpha)\cos(\beta)}{\sin(\alpha)\sin(\beta)}$
Числитель полученной дроби является формулой синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$.
Таким образом:
$\text{ctg}(\alpha) + \text{ctg}(\beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha)\sin(\beta)}$

Подставим это упрощенное выражение в формулу для $h$:
$h = \frac{a}{\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha)\sin(\beta)}} = \frac{a \sin(\alpha)\sin(\beta)}{\sin(\alpha + \beta)}$

Теперь, когда мы выразили высоту $h$ через известные параметры, подставим ее в формулу площади треугольника:
$S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} a \left( \frac{a \sin(\alpha)\sin(\beta)}{\sin(\alpha + \beta)} \right)$

В итоге получаем окончательную формулу для площади:
$S = \frac{a^2 \sin(\alpha)\sin(\beta)}{2\sin(\alpha + \beta)}$

Ответ: $S = \frac{a^2 \sin(\alpha)\sin(\beta)}{2\sin(\alpha + \beta)}$