Номер 3.42, страница 83 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.42. Найдите площадь прямоугольного треугольника, сумма катетов которого равна $l$, а высота, проведенная из вершины прямого угла, равна $h$.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу — как $c$. Площадь треугольника обозначим как $S$.

Согласно условию задачи, нам даны:

• Сумма катетов: $a + b = l$
• Высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе: $h$

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: $S = \frac{1}{2}ab$
2. Через гипотенузу и высоту, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2}ch$

Из этих двух формул для площади следует, что $ab = ch$.

Рассмотрим известное алгебраическое тождество для квадрата суммы:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим известные нам выражения в тождество. Заменим $(a+b)$ на $l$ и $(a^2+b^2)$ на $c^2$:

$l^2 = c^2 + 2ab$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с неизвестными $c$ и $ab$:

$ab = ch$
$c^2 + 2ab = l^2$

Наша цель — найти площадь $S = \frac{1}{2}ab$. Для этого нам достаточно найти значение произведения $ab$.

Выразим $c$ из первого уравнения: $c = \frac{ab}{h}$. Подставим это выражение для $c$ во второе уравнение:

$\left(\frac{ab}{h}\right)^2 + 2ab = l^2$

$\frac{(ab)^2}{h^2} + 2ab - l^2 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно произведения $ab$. Для удобства введем замену $x = ab$:

$\frac{1}{h^2}x^2 + 2x - l^2 = 0$

Умножим обе части уравнения на $h^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$x^2 + 2h^2x - l^2h^2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $x$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения $x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2-4AC}}{2A}$, где $A=1$, $B=2h^2$, $C=-l^2h^2$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = (2h^2)^2 - 4(1)(-l^2h^2) = 4h^4 + 4l^2h^2 = 4h^2(h^2+l^2)$

Корень из дискриминанта равен:

$\sqrt{D} = \sqrt{4h^2(h^2+l^2)} = 2h\sqrt{h^2+l^2}$

Теперь найдем значения $x$:

$x = \frac{-2h^2 \pm 2h\sqrt{h^2+l^2}}{2} = -h^2 \pm h\sqrt{h^2+l^2}$

Поскольку $x = ab$, а $a$ и $b$ — это длины катетов, их произведение должно быть положительным ($x > 0$). Так как $\sqrt{h^2+l^2} > \sqrt{h^2} = h$, то произведение $h\sqrt{h^2+l^2}$ будет больше, чем $h^2$. Следовательно, мы должны выбрать корень со знаком "плюс", чтобы получить положительное значение.

$ab = h\sqrt{h^2+l^2} - h^2$

Теперь, когда мы нашли произведение катетов, мы можем вычислить площадь треугольника $S = \frac{1}{2}ab$:

$S = \frac{h\sqrt{h^2+l^2} - h^2}{2}$

Ответ: $S = \frac{h(\sqrt{h^2+l^2} - h)}{2}$