Номер 3.38, страница 83 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.38. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой каждая из двух меньших смежных сторон равна 6 см, а наибольший угол – $135^\circ$.

Рассмотрим прямоугольную трапецию $ABCD$, где $AB$ и $DC$ являются основаниями, причем $AB \parallel DC$, а $AD$ — боковая сторона, перпендикулярная основаниям. Следовательно, $AD$ является высотой трапеции, а углы $\angle A$ и $\angle D$ — прямые, то есть $\angle A = \angle D = 90^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне $BC$, равна $180^\circ$, то есть $\angle B + \angle C = 180^\circ$. По условию, наибольший угол трапеции равен $135^\circ$. Так как два угла равны $90^\circ$, то один из углов $B$ или $C$ равен $135^\circ$, а другой, соответственно, $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$. В такой трапеции угол при меньшем основании ($B$) будет тупым, а угол при большем основании ($C$) — острым. Таким образом, $\angle B = 135^\circ$ и $\angle C = 45^\circ$.

Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на основание $DC$. Получим прямоугольник $ABHD$ и прямоугольный треугольник $BHC$.Обозначим длину меньшего основания $AB$ как $a$, а высоту $AD$ как $h$. Тогда $BH = AD = h$ и $DH = AB = a$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. В нем:$\angle BHC = 90^\circ$ (так как $BH$ — высота).$\angle C = 45^\circ$ (как мы установили ранее).Следовательно, третий угол треугольника $\angle HBC = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.Поскольку два угла в треугольнике $BHC$ равны, он является равнобедренным, и катеты $BH$ и $HC$ равны: $HC = BH = h$.

Теперь выразим все стороны трапеции через $a$ и $h$:Меньшее основание $AB = a$.Высота $AD = h$.Большее основание $DC = DH + HC = a + h$.Наклонная боковая сторона $BC$ находится по теореме Пифагора из треугольника $BHC$: $BC^2 = BH^2 + HC^2 = h^2 + h^2 = 2h^2$, откуда $BC = h\sqrt{2}$.

Итак, стороны трапеции равны $a, h, a+h$ и $h\sqrt{2}$.По условию, две меньшие смежные стороны равны 6 см. Сравним длины сторон. Так как $a>0$ и $h>0$, то сторона $a+h$ больше, чем $a$ и $h$. Также сторона $h\sqrt{2} \approx 1.414h$ больше, чем $h$. Следовательно, две самые короткие стороны — это $a$ и $h$. Эти стороны (меньшее основание $AB$ и высота $AD$) являются смежными.Таким образом, из условия задачи следует, что $a=6$ см и $h=6$ см.

Теперь мы можем найти все необходимые для расчета площади величины:Меньшее основание $a = 6$ см.Большее основание $b = DC = a + h = 6 + 6 = 12$ см.Высота $h = 6$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$Подставляя найденные значения, получаем:$S = \frac{6 + 12}{2} \cdot 6 = \frac{18}{2} \cdot 6 = 9 \cdot 6 = 54$ см².

Решение
Пусть дана прямоугольная трапеция с основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$. Два угла трапеции равны $90^\circ$. Наибольший угол равен $135^\circ$. Тогда четвертый угол равен $360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 135^\circ = 45^\circ$. Проведя вторую высоту, мы получим прямоугольник и прямоугольный треугольник с острыми углами $45^\circ$ и $45^\circ$. Этот треугольник является равнобедренным, его катеты равны. Один из катетов — это высота трапеции $h$, а другой — разность оснований $b-a$. Таким образом, $b-a=h$.Стороны трапеции: $a$, $b=a+h$, $h$, и наклонная сторона $c = \sqrt{h^2+(b-a)^2} = \sqrt{h^2+h^2} = h\sqrt{2}$.Две меньшие смежные стороны — это меньшее основание $a$ и высота $h$. По условию, $a=h=6$ см.Тогда большее основание $b = a+h = 6+6=12$ см.Площадь трапеции: $S = \frac{a+b}{2}h = \frac{6+12}{2} \cdot 6 = 9 \cdot 6 = 54$ см².
Ответ: $54$ см².