Номер 3.41, страница 83 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.41. Найдите площадь квадрата, вписанного в правильный треугольник со стороной, равной $a$.

Решение:

Пусть дан правильный (равносторонний) треугольник со стороной a. В него вписан квадрат таким образом, что одна его сторона лежит на основании треугольника, а две другие вершины — на боковых сторонах треугольника. Обозначим сторону квадрата как x. Площадь квадрата S будет равна $x^2$.

Рассмотрим равносторонний треугольник ABC со стороной a и вписанный в него квадрат DEFG, где сторона DG лежит на основании BC. Вершина E лежит на стороне AC, а вершина F — на стороне AB.

Проведем высоту AM из вершины A на основание BC. Высота в равностороннем треугольнике вычисляется по формуле: $h = AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Поскольку сторона квадрата EF параллельна основанию BC, то треугольник AFE, который отсекается этой стороной, подобен исходному треугольнику ABC.

Высота треугольника AFE, проведенная из вершины A, будет равна разности высоты всего треугольника AM и высоты квадрата (которая равна его стороне x). Обозначим точку пересечения AM и EF как N. Тогда высота треугольника AFE равна $AN = AM - NM = h - x$. $AN = \frac{a\sqrt{3}}{2} - x$

Из подобия треугольников AFE и ABC следует, что отношение их высот равно отношению их оснований: $\frac{AN}{AM} = \frac{EF}{BC}$

Подставим известные значения в это соотношение. Основание EF малого треугольника равно стороне квадрата x, а основание BC большого треугольника равно a. $\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2} - x}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{x}{a}$

Решим это уравнение для нахождения x. $a \cdot \left( \frac{a\sqrt{3}}{2} - x \right) = x \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Разделим обе части на a (так как $a \ne 0$): $\frac{a\sqrt{3}}{2} - x = \frac{x\sqrt{3}}{2}$

Перенесем все слагаемые с x в правую часть: $\frac{a\sqrt{3}}{2} = x + \frac{x\sqrt{3}}{2}$

Вынесем x за скобки: $\frac{a\sqrt{3}}{2} = x \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ $\frac{a\sqrt{3}}{2} = x \left( \frac{2 + \sqrt{3}}{2} \right)$

Умножим обе части на 2 и выразим x: $a\sqrt{3} = x(2 + \sqrt{3})$ $x = \frac{a\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$

Теперь найдем площадь квадрата $S = x^2$: $S = \left( \frac{a\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \right)^2 = \frac{(a\sqrt{3})^2}{(2 + \sqrt{3})^2} = \frac{3a^2}{4 + 4\sqrt{3} + 3} = \frac{3a^2}{7 + 4\sqrt{3}}$

Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(7 - 4\sqrt{3})$: $S = \frac{3a^2(7 - 4\sqrt{3})}{(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3})} = \frac{3a^2(7 - 4\sqrt{3})}{7^2 - (4\sqrt{3})^2} = \frac{3a^2(7 - 4\sqrt{3})}{49 - 16 \cdot 3} = \frac{3a^2(7 - 4\sqrt{3})}{49 - 48} = 3a^2(7 - 4\sqrt{3})$

Таким образом, искомая площадь квадрата равна $a^2(21 - 12\sqrt{3})$ или $3a^2(7 - 4\sqrt{3})$.

Ответ: $S = 3a^2(7 - 4\sqrt{3})$