Номер 3.48, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.48. Через точку, взятую на диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$, проведены прямые, параллельные его сторонам. При этом образуются четыре параллелограмма. Диагонали двух из них лежат на диагонали $AC$. Докажите, что два других параллелограмма равновелики.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Выберем на его диагонали $AC$ произвольную точку $K$. Через точку $K$ проведем две прямые, параллельные сторонам параллелограмма.

Пусть прямая, параллельная стороне $AD$, пересекает стороны $AB$ и $CD$ в точках $G$ и $H$ соответственно.Пусть прямая, параллельная стороне $AB$, пересекает стороны $AD$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно.

В результате такого построения исходный параллелограмм $ABCD$ разбивается на четыре меньших параллелограмма: $AGKE$, $GBFK$, $KFCH$ и $EKHD$.

Параллелограммы $AGKE$ и $KFCH$ — это те два параллелограмма, диагонали которых ($AK$ и $KC$) лежат на диагонали $AC$.Нам требуется доказать, что два других параллелограмма, $GBFK$ и $EKHD$, равновелики, то есть имеют равные площади.

Основное свойство диагонали любого параллелограмма заключается в том, что она делит его на два равновеликих (равных по площади) треугольника.

1. Диагональ $AC$ делит параллелограмм $ABCD$ на два равновеликих треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Следовательно, их площади равны:$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADC}$

2. Площадь треугольника $\triangle ABC$ складывается из площадей треугольника $\triangle AGK$, треугольника $\triangle KFC$ и параллелограмма $GBFK$:$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle AGK} + S_{GBFK} + S_{\triangle KFC}$

3. Аналогично, площадь треугольника $\triangle ADC$ складывается из площадей треугольника $\triangle AEK$, треугольника $\triangle KHC$ и параллелограмма $EKHD$:$S_{\triangle ADC} = S_{\triangle AEK} + S_{EKHD} + S_{\triangle KHC}$

4. Приравняем правые части выражений для площадей $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$:$S_{\triangle AGK} + S_{GBFK} + S_{\triangle KFC} = S_{\triangle AEK} + S_{EKHD} + S_{\triangle KHC}$

5. Теперь рассмотрим два малых параллелограмма, лежащих на диагонали $AC$:

• В параллелограмме $AGKE$ отрезок $AK$ является диагональю. Следовательно, $S_{\triangle AGK} = S_{\triangle AEK}$.
• В параллелограмме $KFCH$ отрезок $KC$ является диагональю. Следовательно, $S_{\triangle KFC} = S_{\triangle KHC}$.

6. Подставим эти равенства в уравнение из шага 4:$S_{\triangle AEK} + S_{GBFK} + S_{\triangle KHC} = S_{\triangle AEK} + S_{EKHD} + S_{\triangle KHC}$

7. Вычтем из обеих частей равенства одинаковые слагаемые ($S_{\triangle AEK}$ и $S_{\triangle KHC}$):$S_{GBFK} = S_{EKHD}$

Таким образом, мы доказали, что площади параллелограммов $GBFK$ и $EKHD$ равны, то есть они равновелики.

Ответ: Равновеликость двух других параллелограммов доказана на основе свойства диагонали параллелограмма делить его на два равновеликих треугольника. Применяя это свойство к большому параллелограмму и двум малым, лежащим на его диагонали, мы приходим к выводу, что площади оставшихся двух параллелограммов равны.