Номер 3.51, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.51. Середины двух смежных сторон квадрата со стороной $a$ соединены между собой и с противолежащей вершиной. Найдите площадь полученного треугольника.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим квадрат ABCD в эту систему так, чтобы его вершины имели следующие координаты: A(0, 0), B(a, 0), C(a, a) и D(0, a). Длина стороны квадрата равна $a$.

Согласно условию, нам нужно взять середины двух смежных сторон. Выберем стороны AB и AD. Их общая вершина – A(0, 0).

• Середина стороны AB – точка M. Ее координаты: $M(\frac{a}{2}, 0)$.
• Середина стороны AD – точка N. Ее координаты: $N(0, \frac{a}{2})$.

Третья вершина треугольника – это вершина квадрата, противолежащая общей вершине выбранных сторон (вершине A). Это вершина C с координатами $(a, a)$.

Таким образом, нам необходимо найти площадь треугольника MNC.

Площадь этого треугольника можно найти, вычтя из площади всего квадрата площади трех прямоугольных треугольников, которые образуются в углах квадрата: $\triangle AMN$, $\triangle MBC$ и $\triangle NDC$.

1. Площадь квадрата ABCD равна:

$S_{ABCD} = a^2$

2. Найдем площадь треугольника $\triangle AMN$. Это прямоугольный треугольник с катетами AM и AN. Длины катетов равны $AM = \frac{a}{2}$ и $AN = \frac{a}{2}$.

$S_{AMN} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AN = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8}$

3. Найдем площадь треугольника $\triangle MBC$. Это прямоугольный треугольник с катетами MB и BC. Длина катета $BC = a$. Длину катета MB находим как разность длин AB и AM: $MB = a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}$.

$S_{MBC} = \frac{1}{2} \cdot MB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot a = \frac{a^2}{4}$

4. Найдем площадь треугольника $\triangle NDC$. Это прямоугольный треугольник с катетами ND и DC. Длина катета $DC = a$. Длину катета ND находим как разность длин AD и AN: $ND = a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}$.

$S_{NDC} = \frac{1}{2} \cdot ND \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot a = \frac{a^2}{4}$

5. Теперь вычислим площадь искомого треугольника $\triangle MNC$:

$S_{MNC} = S_{ABCD} - S_{AMN} - S_{MBC} - S_{NDC}$

Подставим найденные значения площадей:

$S_{MNC} = a^2 - \frac{a^2}{8} - \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{4}$

Приведем дроби к общему знаменателю 8:

$S_{MNC} = \frac{8a^2}{8} - \frac{a^2}{8} - \frac{2a^2}{8} - \frac{2a^2}{8} = \frac{8a^2 - a^2 - 2a^2 - 2a^2}{8} = \frac{3a^2}{8}$

Ответ: $\frac{3a^2}{8}$