Номер 3.52, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.52. В равнобедренный треугольник вписан квадрат так, что одна его сторона лежит на основании треугольника. Площадь квадрата 16 см². Найдите площадь треугольника, если центры тяжестей треугольника и квадрата совпадают.

Пусть дан равнобедренный треугольник $\triangle ABC$ с основанием $AC$ и высотой $BH$. В него вписан квадрат $KLMN$ так, что сторона $KL$ лежит на основании $AC$, а вершины $N$ и $M$ — на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно. Обозначим сторону квадрата как $a$, высоту треугольника $BH$ как $h$, а основание $AC$ как $b$.

1. Нахождение стороны квадрата

По условию, площадь квадрата $S_{кв}$ равна 16 см². Площадь квадрата вычисляется по формуле $S_{кв} = a^2$.

$a^2 = 16 \text{ см}^2$

$a = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$

2. Нахождение высоты треугольника

Центр тяжести (центроид) квадрата является точкой пересечения его диагоналей. Так как одна сторона квадрата лежит на основании треугольника, а сам треугольник равнобедренный, то центр тяжести квадрата лежит на высоте $BH$ на расстоянии, равном половине стороны квадрата от основания $AC$.

Высота центра тяжести квадрата от основания: $y_{кв} = \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ см}$.

Центр тяжести треугольника — это точка пересечения его медиан. В равнобедренном треугольнике он лежит на высоте $BH$ на расстоянии $\frac{1}{3}$ её длины от основания $AC$.

Высота центра тяжести треугольника от основания: $y_{\triangle} = \frac{h}{3}$.

По условию задачи, центры тяжести треугольника и квадрата совпадают, следовательно, равны и их высоты от основания:

$y_{\triangle} = y_{кв}$

$\frac{h}{3} = 2$

$h = 6 \text{ см}$

3. Нахождение основания треугольника

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$ и меньший треугольник $\triangle NBM$, расположенный над квадратом. Так как сторона квадрата $NM$ параллельна его стороне $KL$, которая лежит на основании $AC$, то $NM \parallel AC$. Следовательно, треугольник $\triangle NBM$ подобен треугольнику $\triangle ABC$.

Высота $\triangle NBM$, проведенная из вершины $B$, равна разности высоты всего треугольника и стороны квадрата:

$h_{NBM} = h - a = 6 - 4 = 2 \text{ см}$

Основанием $\triangle NBM$ является сторона квадрата $NM = a = 4$ см.

Из подобия треугольников следует, что отношение их высот равно отношению их оснований:

$\frac{h_{NBM}}{h} = \frac{NM}{AC}$

$\frac{2}{6} = \frac{4}{b}$

$\frac{1}{3} = \frac{4}{b}$

$b = 3 \cdot 4 = 12 \text{ см}$

4. Нахождение площади треугольника

Площадь треугольника находится по формуле: $S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 36 \text{ см}^2$.

Ответ: $36 \text{ см}^2$.