Номер 3.54, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.54. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно $b$, а высота, проведенная к боковой стороне, равна $h$.

Пусть дан равнобедренный треугольник, в котором основание равно $b$, боковая сторона равна $a$, а высота, проведенная к боковой стороне, равна $h$.

Обозначим треугольник как $ABC$, где $AC$ — основание, $AC = b$, а $AB = BC = a$ — боковые стороны. Проведем высоту $AH$ из вершины $A$ к боковой стороне $BC$. По условию, $AH = h$.

Площадь треугольника $S$ можно найти по формуле "половина произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне":

$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} a h$

Для вычисления площади нам нужно найти длину боковой стороны $a$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. В нем катет $AH=h$, а гипотенуза $AC=b$. Угол $\angle AHC = 90^\circ$. Обозначим угол при основании равнобедренного треугольника $\angle BCA$ как $\gamma$.

Из прямоугольного треугольника $AHC$ мы можем найти синус угла $\gamma$:

$\sin \gamma = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AC} = \frac{h}{b}$

Поскольку $\gamma$ является углом при основании равнобедренного треугольника, он должен быть острым (так как $2\gamma < 180^\circ$), следовательно $\cos \gamma > 0$. Найдем косинус этого угла из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 1$:

$\cos \gamma = \sqrt{1 - \sin^2 \gamma} = \sqrt{1 - \left(\frac{h}{b}\right)^2} = \sqrt{\frac{b^2 - h^2}{b^2}} = \frac{\sqrt{b^2 - h^2}}{b}$

Для того чтобы косинус был действительным числом, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $b^2 - h^2 \ge 0$, или $b \ge h$. Если $b=h$, то $\cos \gamma = 0$ и $\gamma = 90^\circ$, что невозможно в равнобедренном треугольнике. Следовательно, $b > h$.

Теперь воспользуемся теоремой синусов для треугольника $ABC$. Углы треугольника равны $\angle A = \gamma$, $\angle C = \gamma$, $\angle B = 180^\circ - 2\gamma$.

$\frac{a}{\sin \gamma} = \frac{b}{\sin(180^\circ - 2\gamma)}$

Зная, что $\sin(180^\circ - 2\gamma) = \sin(2\gamma) = 2 \sin \gamma \cos \gamma$, подставим это в уравнение:

$\frac{a}{\sin \gamma} = \frac{b}{2 \sin \gamma \cos \gamma}$

Сократив на $\sin \gamma \neq 0$, получим выражение для $a$:

$a = \frac{b}{2 \cos \gamma}$

Теперь подставим найденное ранее значение для $\cos \gamma$:

$a = \frac{b}{2 \cdot \frac{\sqrt{b^2 - h^2}}{b}} = \frac{b^2}{2 \sqrt{b^2 - h^2}}$

Мы нашли выражение для длины боковой стороны $a$ через известные $b$ и $h$. Теперь можем найти площадь треугольника:

$S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{b^2}{2 \sqrt{b^2 - h^2}}\right) \cdot h = \frac{b^2 h}{4 \sqrt{b^2 - h^2}}$

Ответ: $S = \frac{b^2 h}{4 \sqrt{b^2 - h^2}}$.