Номер 3.49, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.49. Докажите, что в любой трапеции два треугольника, образованных его диагоналями и непараллельными сторонами, равновелики.

Пусть дана произвольная трапеция $ABCD$, в которой основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$), а $AB$ и $CD$ — непараллельные боковые стороны. Проведем диагонали $AC$ и $BD$, которые пересекаются в точке $O$. Требуется доказать, что треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$, образованные пересечением диагоналей и боковыми сторонами, равновелики, то есть имеют равные площади.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.

У этих двух треугольников есть общее основание — сторона $AD$. Высоты, проведенные из вершин $B$ и $C$ к этому основанию (или его продолжению), равны между собой. Обозначим эту высоту как $h$. Равенство высот следует из того, что основания трапеции $BC$ и $AD$ параллельны, а расстояние между двумя параллельными прямыми постоянно.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $a$ — сторона треугольника, а $h_a$ — высота, проведенная к этой стороне.

Следовательно, площади треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ равны:

$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h$

$S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h$

Отсюда следует, что $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$.

Теперь рассмотрим площади этих треугольников как суммы площадей меньших треугольников, на которые их разбивает точка пересечения диагоналей $O$.

Площадь треугольника $\triangle ABD$ равна сумме площадей треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle AOD$:

$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOD}$

Площадь треугольника $\triangle ACD$ равна сумме площадей треугольников $\triangle COD$ и $\triangle AOD$:

$S_{\triangle ACD} = S_{\triangle COD} + S_{\triangle AOD}$

Поскольку мы уже установили, что $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$, мы можем приравнять правые части этих выражений:

$S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOD} = S_{\triangle COD} + S_{\triangle AOD}$

Вычитая из обеих частей этого равенства площадь общего треугольника $\triangle AOD$, получаем:

$S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COD}$

Таким образом, доказано, что треугольники, образованные диагоналями и непараллельными сторонами трапеции, равновелики. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ равновелики, так как имеют общее основание $AD$ и равные высоты. Вычитая из их площадей площадь общего треугольника $\triangle AOD$, получаем равенство площадей искомых треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.