Номер 3.50, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. Раздел 3. Площадь - номер 3.50, страница 84.

Учебник rus.

3.50. Докажите формулу Герона, используя теорему Пифагора.

Учебник kz.

Решение.

Решение 2 rus.

Формула Герона позволяет вычислить площадь треугольника $S$ по его сторонам $a, b, c$: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр треугольника.

Для доказательства этой формулы с помощью теоремы Пифагора рассмотрим произвольный треугольник со сторонами $a, b, c$. Проведем в этом треугольнике высоту $h$ к стороне $c$. Эта высота разделит сторону $c$ на два отрезка, которые мы обозначим как $x$ и $c-x$. В результате мы получим два прямоугольных треугольника.

Применим теорему Пифагора для каждого из двух полученных прямоугольных треугольников:

1) В первом треугольнике (с катетами $h, x$ и гипотенузой $b$): $b^2 = h^2 + x^2$

2) Во втором треугольнике (с катетами $h, c-x$ и гипотенузой $a$): $a^2 = h^2 + (c-x)^2$

Из первого уравнения выразим $h^2$: $h^2 = b^2 - x^2$.

Подставим это выражение для $h^2$ во второе уравнение: $a^2 = (b^2 - x^2) + (c-x)^2$

Раскроем скобки и упростим выражение, чтобы найти $x$: $a^2 = b^2 - x^2 + c^2 - 2cx + x^2$ $a^2 = b^2 + c^2 - 2cx$

Выразим $x$ через стороны треугольника $a, b, c$: $2cx = b^2 + c^2 - a^2$ $x = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2c}$

Теперь, зная $x$, мы можем найти высоту $h$. Вернемся к выражению $h^2 = b^2 - x^2$ и подставим в него найденное значение $x$: $h^2 = b^2 - \left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2c}\right)^2$

Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$: $h^2 = \left(b - \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2c}\right)\left(b + \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2c}\right)$

Приведем выражения в скобках к общему знаменателю: $h^2 = \left(\frac{2bc - (b^2 + c^2 - a^2)}{2c}\right)\left(\frac{2bc + b^2 + c^2 - a^2}{2c}\right)$ $h^2 = \left(\frac{2bc - b^2 - c^2 + a^2}{2c}\right)\left(\frac{(b^2 + 2bc + c^2) - a^2}{2c}\right)$

Сгруппируем слагаемые в числителях для выделения полных квадратов: $h^2 = \left(\frac{a^2 - (b^2 - 2bc + c^2)}{2c}\right)\left(\frac{(b+c)^2 - a^2}{2c}\right)$ $h^2 = \left(\frac{a^2 - (b-c)^2}{2c}\right)\left(\frac{(b+c)^2 - a^2}{2c}\right)$

Снова применим формулу разности квадратов к числителям: $h^2 = \frac{(a-(b-c))(a+(b-c))}{2c} \cdot \frac{((b+c)-a)((b+c)+a)}{2c}$ $h^2 = \frac{(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+b+c)}{4c^2}$

Теперь введем полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$. Тогда $a+b+c = 2p$. Выразим остальные множители в числителе через $p$:

• $a+b+c = 2p$
• $a+b-c = (a+b+c) - 2c = 2p - 2c = 2(p-c)$
• $a+c-b = (a+b+c) - 2b = 2p - 2b = 2(p-b)$
• $b+c-a = (a+b+c) - 2a = 2p - 2a = 2(p-a)$

Подставим эти выражения в формулу для $h^2$: $h^2 = \frac{2(p-b) \cdot 2(p-c) \cdot 2(p-a) \cdot 2p}{4c^2} = \frac{16p(p-a)(p-b)(p-c)}{4c^2}$ $h^2 = \frac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^2}$

Отсюда находим высоту $h$: $h = \sqrt{\frac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^2}} = \frac{2}{c}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В нашем случае основание равно $c$, а высота — $h$. $S = \frac{1}{2}ch$

Подставим найденное выражение для $h$: $S = \frac{1}{2}c \left(\frac{2}{c}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\right)$

Сократив $c$ и $2$, получаем искомую формулу Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ - полупериметр, доказана с использованием теоремы Пифагора.