Номер 3.45, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.45. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, ее основания равны 24 см и 40 см. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция, основания которой равны $a = 24$ см и $b = 40$ см. По условию, диагонали этой трапеции взаимно перпендикулярны. Обозначим трапецию как ABCD, где AD и BC — основания, и пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции. Для нахождения площади нам необходимо определить высоту $h$.

Поскольку трапеция равнобедренная, её диагонали равны ($AC = BD$). Треугольники, образованные пересечением диагоналей и основаниями ($\triangle AOD$ и $\triangle BOC$), являются равнобедренными, так как отрезки диагоналей попарно равны: $AO = DO$ и $BO = CO$. По условию задачи диагонали перпендикулярны ($AC \perp BD$), следовательно, $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ являются равнобедренными прямоугольными треугольниками.

Проведём высоту трапеции через точку пересечения диагоналей O. Эта высота будет состоять из двух отрезков: высоты $h_1$ треугольника $\triangle BOC$, опущенной из вершины O на основание BC, и высоты $h_2$ треугольника $\triangle AOD$, опущенной из вершины O на основание AD. Таким образом, общая высота трапеции $h = h_1 + h_2$.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, равна половине длины этой гипотенузы.В треугольнике $\triangle BOC$ гипотенузой является основание трапеции BC. Следовательно, высота $h_1$ равна:$h_1 = \frac{BC}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.В треугольнике $\triangle AOD$ гипотенузой является основание трапеции AD. Следовательно, высота $h_2$ равна:$h_2 = \frac{AD}{2} = \frac{40}{2} = 20$ см.

Полная высота трапеции равна сумме этих высот:$h = h_1 + h_2 = 12 + 20 = 32$ см.

Теперь, зная высоту и длины оснований, мы можем найти площадь трапеции:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{24+40}{2} \cdot 32 = \frac{64}{2} \cdot 32 = 32 \cdot 32 = 1024$ см².

Ответ: 1024 см².