Номер 3.39, страница 83 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.39. Постройте:
1) параллелограмм;
2) прямоугольник, равносоставленные с данной равнобокой трапецией.

В основе решения лежит тот факт, что две фигуры называются равносоставленными, если одну из них можно разрезать на конечное число многоугольников и сложить из них вторую фигуру. Согласно теореме Бойаи-Гервина, это возможно тогда и только тогда, когда фигуры имеют одинаковую площадь. Мы покажем, как с помощью разрезания и перестановки частей преобразовать данную равнобокую трапецию в параллелограмм и прямоугольник.

Общая стратегия для обоих пунктов состоит из двух этапов:

1. Преобразование данной трапеции в равновеликий (и равносоставленный) треугольник.
2. Преобразование полученного треугольника в требуемую фигуру (параллелограмм или прямоугольник).

Этап 1: Преобразование трапеции в треугольник

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$) и высотой $h$. Площадь трапеции равна $S = \frac{AD+BC}{2}h$.

1. На боковой стороне $CD$ выберем середину — точку $M$.
2. Проведем разрез по отрезку $BM$. Трапеция разделится на две части: четырехугольник $ABMD$ и треугольник $BCM$.
3. Повернем треугольник $BCM$ на $180^\circ$ вокруг точки $M$. При этом повороте:
   • Точка $M$ останется на месте.
   • Точка $C$ перейдет в точку $D$, так как $M$ — середина $CD$.
   • Точка $B$ перейдет в некоторую новую точку $E$.
4. Отрезок $BC$ перейдет в отрезок $ED$. Так как при повороте отрезок переходит в равный и параллельный ему, то $ED = BC$ и прямая $ED$ параллельна прямой $BC$.
5. Поскольку основание $BC$ было параллельно основанию $AD$, то прямая $ED$ будет параллельна прямой $AD$. Так как они обе проходят через точку $D$, они лежат на одной прямой. Таким образом, точки $A, D, E$ лежат на одной прямой.
6. Новая фигура — это треугольник $ABE$. Его основание $AE = AD + DE = AD + BC$. Его высота совпадает с высотой трапеции $h$.
7. Площадь треугольника $ABE$ равна $\frac{1}{2} \cdot AE \cdot h = \frac{AD+BC}{2}h$, что в точности равно площади исходной трапеции $ABCD$.

Таким образом, мы построили треугольник $ABE$, равносоставленный с данной трапецией $ABCD$. Теперь будем работать с этим треугольником.

1) Постройте параллелограмм

Используя полученный на первом этапе треугольник $ABE$, построим равносоставленный с ним параллелограмм.

1. Возьмем треугольник $ABE$, где основание $AE = AD+BC$, а высота равна $h$.
2. Найдем середину стороны $AB$ — точку $P$, и середину стороны $BE$ — точку $Q$.
3. Проведем разрез по отрезку $PQ$. Этот отрезок является средней линией треугольника $ABE$, поэтому $PQ \parallel AE$ и $PQ = \frac{1}{2}AE$.
4. Отрежем верхний маленький треугольник $PBQ$.
5. Повернем треугольник $PBQ$ на $180^\circ$ вокруг точки $Q$. При этом повороте:
   • Точка $Q$ останется на месте.
   • Точка $B$ перейдет в точку $E$, так как $Q$ — середина $BE$.
   • Точка $P$ перейдет в некоторую новую точку $P'$.
6. Приставим повернутый треугольник $P'EQ$ к оставшейся части (трапеции $APQE$) так, чтобы сторона $EQ$ повернутого треугольника совпала со стороной $BQ$ трапеции $APQE$.
7. В результате получится четырехугольник $APP'E$. Докажем, что это параллелограмм. Сторона $AE$ параллельна $PQ$, а значит и $P'Q$ (так как $P, Q, P'$ лежат на одной прямой). Следовательно, $AE \parallel PP'$. Также $AP$ (часть стороны $AB$) параллельна $EP'$ (часть повернутой стороны $PB$). Таким образом, $APP'E$ — параллелограмм.

Этот параллелограмм состоит из тех же частей, что и исходная трапеция, следовательно, он ей равносоставлен.

Ответ: Искомый параллелограмм строится путем преобразования трапеции в равновеликий треугольник, который затем разрезается по средней линии и перекладывается в параллелограмм.

2) Постройте прямоугольник

Прямоугольник является частным случаем параллелограмма. Для его построения также воспользуемся треугольником $ABE$, полученным на первом этапе.

1. Возьмем треугольник $ABE$ с основанием $AE$ и высотой $h$, проведенной из вершины $B$ к основанию $AE$.
2. Найдем середину высоты $h$ — точку $F$.
3. Проведем через точку $F$ прямую, параллельную основанию $AE$. Эта прямая пересечет стороны $AB$ и $BE$ в точках $G$ и $H$ соответственно.
4. Разрежем треугольник $ABE$ по отрезку $GH$. Отрежем верхний треугольник $GBH$.
5. Из вершины $B$ опустим перпендикуляр $BF$ на прямую $GH$. Этот перпендикуляр разделит треугольник $GBH$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle GFB$ и $\triangle HFB$.
6. Переместим эти два маленьких треугольника. Приставим $\triangle GFB$ к трапеции $AGFE$ так, чтобы катет $GF$ совпал с отрезком $AG$ с внешней стороны. Приставим $\triangle HFB$ к трапеции $GHE$ так, чтобы катет $HF$ совпал с отрезком $HE$ с внешней стороны.
7. В результате этих перемещений получится новая фигура — прямоугольник. Его высота будет равна $\frac{h}{2}$, а длина будет равна основанию треугольника $AE$, то есть $AD+BC$.

Площадь полученного прямоугольника равна $(AD+BC) \cdot \frac{h}{2} = \frac{AD+BC}{2}h$, что равно площади исходной трапеции. Фигура составлена из тех же частей, что и трапеция.

Ответ: Искомый прямоугольник строится путем преобразования трапеции в равновеликий треугольник, который затем разрезается на три части и складывается в прямоугольник.