Номер 3.44, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.44. У квадрата со стороной $a$ углы отрезаны так, что получился правильный восьмиугольник. Найдите площадь этого восьмиугольника.

Пусть сторона исходного квадрата равна $a$. Когда у квадрата отрезают углы для получения правильного восьмиугольника, отрезаемые части представляют собой четыре одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольника.

Обозначим длину катета такого треугольника за $x$. Тогда гипотенуза этого треугольника будет являться стороной получившегося правильного восьмиугольника. Обозначим ее длину $s$. По теореме Пифагора:$s^2 = x^2 + x^2 = 2x^2$$s = x\sqrt{2}$

Каждая сторона исходного квадрата состоит из одной стороны восьмиугольника и двух катетов отрезанных треугольников. Таким образом, мы можем записать соотношение:$a = x + s + x = s + 2x$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:$s = x\sqrt{2}$$a = s + 2x$

Подставим выражение для $s$ из первого уравнения во второе:$a = (x\sqrt{2}) + 2x = x(\sqrt{2} + 2)$

Выразим $x$ через $a$:$x = \frac{a}{2 + \sqrt{2}}$

Площадь восьмиугольника можно найти, вычтя из площади исходного квадрата ($S_{кв} = a^2$) суммарную площадь четырех отрезанных треугольников. Площадь одного такого треугольника равна $S_{\triangle} = \frac{1}{2}x \cdot x = \frac{1}{2}x^2$. Суммарная площадь четырех треугольников равна $S_{4\triangle} = 4 \cdot \frac{1}{2}x^2 = 2x^2$.

Найдем $x^2$:$x^2 = \left(\frac{a}{2 + \sqrt{2}}\right)^2 = \frac{a^2}{(2 + \sqrt{2})^2} = \frac{a^2}{4 + 4\sqrt{2} + 2} = \frac{a^2}{6 + 4\sqrt{2}}$

Теперь вычислим суммарную площадь отрезанных треугольников:$S_{4\triangle} = 2x^2 = 2 \cdot \frac{a^2}{6 + 4\sqrt{2}} = \frac{2a^2}{2(3 + 2\sqrt{2})} = \frac{a^2}{3 + 2\sqrt{2}}$Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3 - 2\sqrt{2})$:$S_{4\triangle} = \frac{a^2(3 - 2\sqrt{2})}{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})} = \frac{a^2(3 - 2\sqrt{2})}{9 - 4 \cdot 2} = \frac{a^2(3 - 2\sqrt{2})}{9 - 8} = a^2(3 - 2\sqrt{2})$

Наконец, найдем площадь восьмиугольника $S_{8}$:$S_{8} = S_{кв} - S_{4\triangle} = a^2 - a^2(3 - 2\sqrt{2}) = a^2 - 3a^2 + 2\sqrt{2}a^2 = 2\sqrt{2}a^2 - 2a^2 = 2a^2(\sqrt{2} - 1)$

Ответ: $2a^2(\sqrt{2} - 1)$.