Номер 3.43, страница 83 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.43. На сторонах равностороннего треугольника вне его построены квадраты. Центры квадратов соединены с концами соответствующей стороны треугольника. Найдите площадь полученного шестиугольника. Сторона треугольника равна $a$ (рис. 3.21).

Рис. 3.21

Для нахождения площади полученного шестиугольника разобьем его на более простые фигуры. Согласно условию, на сторонах равностороннего треугольника построены квадраты. Центры этих квадратов соединены с вершинами соответствующей стороны исходного треугольника. Таким образом, искомый шестиугольник состоит из центрального равностороннего треугольника и трех одинаковых равнобедренных треугольников, пристроенных к его сторонам.

Пусть сторона исходного равностороннего треугольника равна $a$.

1. Найдем площадь центрального равностороннего треугольника ($S_1$).
Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_1 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

2. Найдем площадь одного из трех добавленных равнобедренных треугольников ($S_2$).
Каждый из этих треугольников имеет основание, равное стороне исходного треугольника, то есть $a$. Вершина, противолежащая основанию, является центром квадрата, построенного на этой стороне. Высота такого треугольника, проведенная к основанию $a$, равна расстоянию от центра квадрата до его стороны. Это расстояние равно половине стороны квадрата. Так как квадрат построен на стороне треугольника, его сторона также равна $a$. Следовательно, высота $h$ каждого из этих треугольников равна $\frac{a}{2}$. Площадь одного такого треугольника ($S_2$) равна: $S_2 = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{4}$

3. Найдем общую площадь шестиугольника ($S$).
Общая площадь шестиугольника равна сумме площади центрального равностороннего треугольника и площадей трех одинаковых равнобедренных треугольников. $S = S_1 + 3 \cdot S_2$ Подставим найденные значения площадей: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + 3 \cdot \frac{a^2}{4} = \frac{a^2\sqrt{3} + 3a^2}{4}$ Вынесем общий множитель за скобки: $S = \frac{a^2(3 + \sqrt{3})}{4}$

Ответ: Площадь полученного шестиугольника равна $\frac{a^2(3 + \sqrt{3})}{4}$.