Номер 3.47, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.47. Около окружности радиуса $R$ описана равнобедренная трапеция, площадь которой равна $S$. Найдите основания трапеции.

Пусть $a$ и $b$ — основания равнобедренной трапеции ($a$ — большее, $b$ — меньшее), $c$ — её боковая сторона, $h$ — высота, $R$ — радиус вписанной окружности, а $S$ — площадь трапеции.

Так как в трапецию можно вписать окружность, её высота $h$ равна диаметру этой окружности, то есть $h = 2R$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$. Подставим в неё известную нам высоту: $S = \frac{a+b}{2} \cdot (2R) = (a+b)R$.

Из этого соотношения мы можем выразить сумму оснований трапеции: $a+b = \frac{S}{R}$. (1)

Одним из ключевых свойств четырехугольника, описанного около окружности, является равенство сумм его противоположных сторон. Для нашей равнобедренной трапеции это свойство записывается как: $a+b = c+c = 2c$.

Отсюда, зная сумму оснований, мы можем найти длину боковой стороны: $c = \frac{a+b}{2} = \frac{S/R}{2} = \frac{S}{2R}$.

Теперь проведем высоту из вершины меньшего основания к большему. В результате образуется прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота $h$ и отрезок $\frac{a-b}{2}$, а гипотенузой — боковая сторона $c$. По теореме Пифагора: $c^2 = h^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$.

Подставим в это уравнение найденные ранее выражения для $c$ и $h$: $\left(\frac{S}{2R}\right)^2 = (2R)^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$.

Теперь из этого уравнения выразим разность оснований $a-b$. $\frac{S^2}{4R^2} = 4R^2 + \frac{(a-b)^2}{4}$.

$\frac{(a-b)^2}{4} = \frac{S^2}{4R^2} - 4R^2 = \frac{S^2 - 16R^4}{4R^2}$.

$(a-b)^2 = \frac{S^2 - 16R^4}{R^2}$.

Поскольку $a$ — большее основание, разность $a-b$ положительна. Извлекаем квадратный корень: $a-b = \frac{\sqrt{S^2 - 16R^4}}{R}$. (2)

Мы получили систему из двух линейных уравнений (1) и (2) относительно $a$ и $b$: $$ \begin{cases} a+b = \frac{S}{R} \\ a-b = \frac{\sqrt{S^2 - 16R^4}}{R} \end{cases} $$

Сложив эти два уравнения, найдем $a$: $2a = \frac{S}{R} + \frac{\sqrt{S^2 - 16R^4}}{R} \implies a = \frac{S + \sqrt{S^2 - 16R^4}}{2R}$.

Вычтя второе уравнение из первого, найдем $b$: $2b = \frac{S}{R} - \frac{\sqrt{S^2 - 16R^4}}{R} \implies b = \frac{S - \sqrt{S^2 - 16R^4}}{2R}$.

Для существования действительных решений необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $S^2 - 16R^4 \ge 0$, то есть $S \ge 4R^2$.

Ответ: $\frac{S + \sqrt{S^2 - 16R^4}}{2R}$ и $\frac{S - \sqrt{S^2 - 16R^4}}{2R}$.